级数与平方数

王守恩

蔡家雄 发表于 2017-11-16 06:33
兔子数列中的勾股数

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,
1346269, 2178309,3524578,5702887, 9227465, 14930352, 24157817,39088169,
63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, .........

\(\displaystyle F_{n}=\bigg[\frac{\cos(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arcsin(i/2))}\bigg]\)


1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349,
15127, 24476, 39603, 64079, 103682, 167761, 271443,  439204, 710647, 1149851,
1860498, 3010349, 4870847, 7881196,12752043, 20633239, 33385282, 54018521,
87403803, 141422324,  228826127, 370248451, 599074578, 969323029, ..........

\(\displaystyle L_{n}=\bigg[\frac{\sin(\arcsin(i/2) n)}{\cos(\arccos(i/2))}\bigg]\)

蔡家雄

先由我设想，后由 Treenewbee 验证，以下成立，

卢卡斯序列
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,（质数）
L3=97,（质数）
L4=18817,（合数）
L5=708158977,（质数）
L6=1002978273411373057,（合数）

设想：10是卢卡斯序列中30k+7型质数(7, 97, 708158977 )的原根。

后一项 是 前一项的平方，再减2，
7，47，2207，4870847，......
设想：10是此序列中 质数(7, 47, 2207 )的原根。


后一项 是 前一项的平方的2倍，再减1，

13，337，227137，103182433537，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337，

设想：10是此序列中30k+7型质数(337，21293229181234844660737，

906803217929182266254138837494941353258766337 )的原根。


后一项 是 前一项的平方，再减2，

257,  66047,  4362206207,  19028842992389326847,

设想：10是此序列中 质数(257,  66047,  4362206207 )的原根。

后一项 是 前一项的平方，再减2，

233, 54287, 2947078367, 8685270901239386687, 75433930627915628254433095959912835967,

设想：10是此序列中 质数(233, 54287, 75433930627915628254433095959912835967 )的原根。

蔡家雄

先由我提出问题，后由 Treenewbee 编程计算，祝 Treenewbee 取得更多成果 ！

【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P, A, B, C 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合，由 Treenewbee 程序计算，

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ?  由 Treenewbee 程序计算，

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

( 2833 , 3, [450, 2001, 2446], [744, 2001, 2428], [1362, 2001, 2302])
(19081, 3, [7516, 9033, 17952])
(30941, 3, [7795, 23015, 25691])
(15187, 3, [6960, 7275, 14062])
(24197, 3, [2621, 16408, 21350])
(26647, 3, [14304, 19294, 20655])

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3

蔡家雄

先由我提出：用待定系数法破解三次幂和恒等式，

再由 Treenewbee 完美解答，祝 Treenewbee 取得更多成果 ！

蔡家雄

蔡家雄

完全循环节问题

若 16^k+3 是素数，

则 10 是素数 16^k+3 的原根，

则 1/(16^k+3) 具有最大循环节长d= 16^k+2 .

此时，不超5000的 k 的值有，

k = 1，3，4，7，21，57，196，426，502，1015，1138，4305，使猜想成立。


完全循环节问题

若 16^k+7 是素数，

则 10 是素数 16^k+7 的原根，

则 1/(16^k+7) 具有最大循环节长d= 16^k+6 .

有 k=1, 2, 4, 5, 7, 11, 22, 40, 51, 147, ......


完全循环节问题

若 16^k+13 是素数，

则 10 是素数 16^k+13 的原根，

则 1/(16^k+13) 具有最大循环节长d= 16^k+12 .

有 k=1，2，5，16，20，73，283，......


完全循环节问题

若 16^k+1 是素数，则 10 是素数 16^k+1 的原根。

若 16^k+3 是素数，则 10 是素数 16^k+3 的原根。

若 16^k+7 是素数，则 10 是素数 16^k+7 的原根。

若 16^k+13 是素数，则 10 是素数 16^k+13 的原根。

若 16^k+31 是素数，则 10 是素数 16^k+31 的原根。

若 16^k+81 是素数，则 10 是素数 16^k+81 的原根。

若 16^k+97 是素数，则 10 是素数 16^k+97 的原根。

cz1

一条龙素数！！！！！！！！！！

223

22222223

22222222223

222222222222222222222222222222222223

337

333337

3333333333333333333333333333333333333333333337

4447

4444444447

44444444444444444447

44444444444444444444444447

887

8887

888887

888888887

888888888887

888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887

229

22229

22222222222229

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779

Treenewbee

cz1 发表于 2023-2-17 22:15
一条龙素数！！！！！！！！！！

223

{113,223,227,229,331,337,443,449,557,661,773,881,883,887,1117,2221,3331,4441,4447,5557,6661,8887,11113,11117,11119,22229,33331,44449,77773,88883,111119,333331,333337,444443,444449,555557,666667,888887,3333331,11111117,11111119,22222223,33333331,55555553,55555559,66666667,88888883,111111113,222222227,444444443,666666667,777777773,888888883,888888887,4444444447,5555555557,6666666661,11111111113,22222222223,44444444441,66666666667,444444444443,555555555551,555555555559,777777777773,888888888887,5555555555551,7777777777771,22222222222229,88888888888889,222222222222227,555555555555557,777777777777773,888888888888883,11111111111111119,88888888888888889,222222222222222221,333333333333333331,555555555555555559,666666666666666661,1111111111111111111,8888888888888888881,44444444444444444447,66666666666666666667,77777777777777777771......}

Treenewbee

1. Select[Sort@
   
2.   Flatten@Table[
   
3.     a*(10^b - 10)/9 + c, {a, 1, 9}, {b, 3, 20}, {c, 1, 9}],
   
4. PrimeQ[#] &]

复制代码

{113,223,227,229,331,337,443,449,557,661,773,881,883,887,991,997,1117,2221,3331,4441,4447,5557,6661,8887,11113,11117,11119,22229,33331,44449,77773,88883,99991,111119,333331,333337,444443,444449,555557,666667,888887,3333331,9999991,11111117,11111119,22222223,33333331,55555553,55555559,66666667,88888883,111111113,222222227,444444443,666666667,777777773,888888883,888888887,4444444447,5555555557,6666666661,11111111113,22222222223,44444444441,66666666667,444444444443,555555555551,555555555559,777777777773,888888888887,5555555555551,7777777777771,22222222222229,88888888888889,222222222222227,555555555555557,777777777777773,888888888888883,11111111111111119,88888888888888889,99999999999999997,222222222222222221,333333333333333331,555555555555555559,666666666666666661,1111111111111111111,8888888888888888881,44444444444444444447,66666666666666666667,77777777777777777771}

Treenewbee

{199,211,233,277,311,433,499,577,599,677,733,811,877,911,977,1777,1999,2111,2333,2777,2999,4111,4999,5333,7333,8111,8999,23333,47777,49999,59999,67777,79999,97777,199999,311111,511111,599999,611111,733333,799999,911111,2999999,4999999,19999999,29999999,59999999,61111111,71111111,83333333,89999999,577777777,799999999,1777777777,2777777777,8777777777,23333333333,31111111111,59999999999,67777777777,79999999999,311111111111,377777777777,2111111111111,5111111111111,17777777777777,31111111111111,41111111111111,47777777777777,53333333333333,59999999999999,67777777777777,499999999999999,577777777777777,1333333333333333,2777777777777777,5111111111111111,8777777777777777,23333333333333333,43333333333333333,377777777777777777,577777777777777777,1111111111111111111,2111111111111111111,2777777777777777777,5777777777777777777,29999999999999999999,89999999999999999999,97777777777777777777,911111111111111111111}