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楼主: shuxuestar

[天工造物:真正无价的科学发现] 一类数学"典型流形曲线系"的发现研究

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发表于 2017-2-27 23:25 | 显示全部楼层
正劈锥面被平面所截得的交线的投影即为平面蛋圆曲线,方程式为 x^2/a^2 + y^2 / (ky + b)^2 = 1, 绝对值k小于1.
发表于 2017-2-27 23:26 | 显示全部楼层
蛋圆属于劈锥曲线族,是四次方程曲线。在椭圆方程中,令a = b = r ,椭圆即成为特例——圆;而椭圆又是蛋圆的一种特例。
发表于 2017-2-27 23:28 | 显示全部楼层
蛋圆属于劈锥曲线族,是四次方程曲线。在椭圆方程中,令a = b = r ,椭圆即成为特例——圆;而椭圆又是蛋圆的一种特例。

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cz1
赞  发表于 2023-2-17 08:12
发表于 2017-2-27 23:28 | 显示全部楼层
设准线为椭圆的正劈锥面方程为 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其轴为 x 轴,准线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1,以平行于劈锥面轴的平面
z = ky + b 去截正劈锥面,得交线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
{ z = ky + b (2),将(2)投影到 xOy 平面上,即得蛋圆标准方程(1),见图1。
仿椭圆参数方程,引入角参数 t ,蛋圆参数方程为
{ x = a cos t
y = b sin t / ( 1-k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。
令(1)在三维直角坐标系中绕 y 轴旋转,得出旋转蛋球面方程(详见图2):
蛋圆(1)的取值范围:a > 0, b > 0, ︱k︱< 1。
因为 k 是平面 ky + b 对于 zOx 坐标面的斜率,︱k︱﹥ 1时,平面在正劈锥面上不能截到封闭的卵形线,k = 0 时(1)成为特例——椭圆。b = 0 时(1)成为两条直线: —a ≤ x ≤ a ;
-b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 - k)。
蛋圆(1)内线段:(1)与 x 轴两个交点的连接线段称“横径”,其长度记为 2r,横径被其中点所分成的两个线段称“对称半径”,其长度记为r ,r = a ;(1)以 y 轴为唯一对称轴,是偶函数,(1)与其对称轴的两个交点间的线段称“直径”,其长度记为 d ,
d = b / (1-k) - [-b/ (1 + k )] = 2b /(1-k^2);直径与横径的比值称圆度记为u,u = d / 2r = b / a(1-k^2),当u = 1时蛋圆变为特例——圆,当u → 0 时蛋圆越来越矮胖,当u →∞时蛋圆越来越瘦长。
由于蛋圆(1)是已知唯一的三参数蛋圆曲线,调节a、b、k三个参数比例,可以无限逼近符合定义的任何蛋圆,包括获得比椭圆方程式更精确地逼近真实的地球外形方程式。
图3:计算机绘制的立体蛋圆——蛋球面
(方程式为:(x^2 + z^2) /16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1)

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cz1
厉害  发表于 2023-2-17 08:13
 楼主| 发表于 2017-2-27 23:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2017-2-27 23:49 编辑

所谓蛋圆曲线不是啥劈锥那麼复杂 ,只是圆或椭圆的锥形投影变换。为二次方程的线性变换,还为二次曲线。

证明很简单,立体几何就可以。

不过曲线形式不美。
 楼主| 发表于 2017-2-27 23:39 | 显示全部楼层
笛卡尔的曲线不错,不过任意比例的画不出来,数学方法很麻烦。
 楼主| 发表于 2017-2-27 23:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 shuxuestar 于 2017-2-27 23:55 编辑

作者发明了世界上第一个方程无限趋近完美卵形的可画卵形的仪规。 这在历史上还没有过....................
发表于 2017-2-28 09:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学村夫 于 2017-2-28 22:52 编辑

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cz1
大大的赞  发表于 2023-2-17 08:13
发表于 2017-2-28 21:39 | 显示全部楼层
完美卵形,如何定义?以什么为标准?
 楼主| 发表于 2017-2-28 23:44 | 显示全部楼层
与选取的各完美蛋类的相似达99.99%以上,因为此方程产生所有卵形没有不完美的卵形,只有曲率比例的差别。

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赞一个  发表于 2023-5-7 09:53
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