圆周上有 2(n-1) 个点，将它们两两连接，得到 n-1 条互不相交的弦，有几种连接法？

王守恩

圆周上有20个点，每两点间连一线段，共连10条，各线段间均无交点。有几种连线方法？
答案是1,  2,  5,  14,  42, 132,  429,  1430,  4862,  16796, ......
通过旋转，翻转得到的图形重合时只能算同一种连线方法。
答案是1，1，2，3，6，11，23，47，102，214，......

求助高人：
1，第1个答案：1,  2,  5,  14,  42, 132,  429,  1430,  4862,  16796, ......是Catalans数？
不知道Catalan是什么东西？
2，第2个答案：1，1，2，3，6，11，23，47，102，214，......能给点启示吗？

bbccy

无能为力，求楼下回答。

王守恩

bbccy 发表于 2017-5-27 17:49
无能为力，求楼下回答。

此题比《珠环》还难，“带有重复元素的圆排列和环排列“的波利亚公式不够用。
此题比《汉诺塔》还难，杨辉三角与多进制也不够用。

luyuanhong

luyuanhong

王守恩

成对连接圆周上2n个点使弦互不相交，有多少种不同的连接方法？
答案是1,  2,  5,  14,  42, 132,  429,  1430,  4862,  16796, ......

通过旋转，翻转得到的图形重合时只能算同一种连线方法。
答案是1，1，2，3，6，11，23，47，102，214，......

此题有点难，先搁一搁！
放松一下，有兴趣的朋友，我们一起做一做下面的题目。
请看
1，1个“+”号，有2个算式。
    1+1
    1+2
2，2个“+”号，有3个算式。
    1+1+1
    1+1+2
    1+2+3
3，3个“+”号，有5个算式。
    1+1+1+1
    1+1+1+2
    1+1+2+2
    1+1+2+3
    1+2+3+4
4，4个“+”号，有7个算式。
    1+1+1+1+1
    1+1+1+1+2
    1+1+1+2+2
    1+1+1+2+3
    1+1+2+2+3
    1+1+2+3+4
    1+2+3+4+5
5，5个“+”号，有11个算式。
    1+1+1+1+1+1
    1+1+1+1+1+2
    1+1+1+1+2+2
    1+1+1+1+2+3
    1+1+1+2+2+2
    1+1+1+2+2+3
    1+1+1+2+3+4
    1+1+2+2+3+3
    1+1+2+2+3+4
    1+1+2+3+4+5
    1+2+3+4+5+6
    ............
我们对每个算式约定如下：
1，第1个加数是“1”；
2，后面的加数比前面的加数要大；
3，相邻两个加数的差只能是“1”或“0”；
4，相同加数的个数：后面的个数不能比前面的多。
问：20个“+”号，有多少个算式？

luyuanhong

楼上提出的问题，其实与下面的问题是有关系的：

m 个无区别的小球，放入 n 个无区别的盒子（可以有空盒），有几种不同的放法？

上面的加法算式中，有几个“1”，对应于在第 1 个盒子中放几个球，有几个“2”，

对应于在第 2 个盒子中放几个球，有几个“3”，对应于在第 3 个盒子中放几个球，

………… ，

加法算式中有 m-1 个“+”号，有 m 个加数，相当于在放球问题中有 m 个球。

例如，3 个“+”号，4 个加数，相当于有 4 个球，要放入 4 个盒子（可以有空盒）。

  1+1+1+1 对应于 （●●●●）（ ）（ ）（ ） 。

  1+1+1+2 对应于  （●●●）（●）（ ）（ ） 。

  1+1+2+2 对应于  （●●）（●●）（ ）（ ） 。

  1+1+2+3 对应于   （●●）（●）（●）（ ） 。

  1+2+3+4 对应于    （●）（●）（●）（●） 。

共有 5 个不同的加法算式，对应于 5 种不同的小球放法。


下面表格中给出了：

m 个无区别的小球，放入 n 个无区别的盒子（可以有空盒）的不同的放法数 R(m,n)  。

其中对角线上红色的数字 R(m,m) ，就是 m 个球放入 m 个盒子（可有空盒）的放法数，

也就是楼上帖子中要计算的加法算式数。

luyuanhong

王守恩

连结圆上n个点，最多能够把圆分成几个部分？

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941, 2517, ......

\(a_{n}=\frac{n^4 - 6 n^3 + 23 n^2 - 18 n + 24}{24}\)

luyuanhong

王守恩 发表于 2023-5-29 15:30
连结圆上n个点，最多能够把圆分成几个部分？

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 10 ...

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：