几何一探－最弱条件的等腰三角形证明

王守恩

王守恩 发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A       1+2=3+4=90-A
         1=90-A-2     4=90- ...

1，设∠BAC=2A      A+1+2=A+3+4=90
2，为书写方便，不妨设A=30  1=20  3=K-20
  三角形BCD  BD/BC=sin(K+60)/sin(80)  (1)
  三角形BCE   CE/BC=sinK/sin(K+40)      (2)
3，综合  sin(K+60)/sin(80)=sinK/sin(K+40)  
4，1=sinKsin(80)/[sin(K+40)sin(K+60)]  
      解得K=60。

天元酱菜院

1)  本题有一个前提： ∠1+∠3和∠2+∠4都是锐角。 （否则不可能等腰） 可看作蕴含在题目中的约定。
2)  本题∠BAC 不限定为锐角，∠BEC和∠BDC也不限定为锐角。 这些情况下本题同样成立。
3)  不妨设∠3-∠2=s， s>=0       （由对称性，也可以设∠2>=∠3, 以下过程是完全相似的）;
      已知∠1+∠2=∠3+∠4= π/2 - 0.5*∠BAC，  有∠1=∠3+∠4-∠2= ∠4+s  ;
      于是，又有s<∠1<π/2

4)   分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
      可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)

以下分三种情况讨论：
4-1） ∠2+∠3+∠4 = π/2 时
        (顶角较大，譬如是钝角；E、D离BC边 较近时∠BDC为直角或钝角是可能的）

        sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4)=sin(∠1+∠3)*1=sin(∠2+∠4+2s) ，
       因∠1+∠3=∠2+∠4+2s  是锐角、 2s>=0;   
       所以 sin(∠2+∠4+2s)>=sin(∠2+∠4)>=sin(∠2+∠4) sin(∠1+∠2+∠3)
      而sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)=sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠4+s)=sin(∠2+∠4)sin(π/2+s)
      所以，仅当s=0时等号成立。 于是，∠3=∠2，∠1=∠4；本题得证

4-2）∠2+∠3+∠4 > π/2 时
       ∠1+∠2+∠3=∠2+∠3+∠4+(∠1-∠4)=∠2+∠3+∠4+s，也大于π/2， 所以，π-∠1-∠2-∠3 <= π-∠2-∠3-∠4 < π/2
       于是：
       sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4)=sin(∠2+∠4+2s)sin(π-∠2-∠3-∠4)  
       >=sin(∠2+∠4)sin(π-∠2-∠3-∠4-s)=sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)
      且仅当s=0时等号成立。 于是，本题得证。

4-3）∠2+∠3+∠4 < π/2 时，设∠2+∠3+∠4为R
      sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) =sin(∠1+∠2+s)sin(R)=sin(R) sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(R)sin(s)cos(∠1+∠2)
   =sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s) sin(R)cos(∠1+∠2) + [ sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) - sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)] ........(加一项、减一项)
   =sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s)sin(R-∠1-∠2) +sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)
   =sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)+sin(s)sin(∠3+∠4-∠1)
   =sin(∠1+∠2)sin(R+s) + sin(s)sin(∠2)
   =sin(∠2+∠4+s)sin(∠2+∠3+∠4+s) + sin(s)sin(∠2)>=sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)

     且仅当s=0时等号成立。于是本题得证。

至此本题证完。
   

王守恩

谢芝灵

楼主的题我证明了。
图传不上

ccmmjj

谢芝灵 发表于 2017-8-24 03:39
楼主的题我证明了。
图传不上

可以点高级模式，图片上传。如果不行，看一下右上方有没有没成全文本模式，如有，点击改变。

chaoshikong

谢芝灵 发表于 2017-8-24 11:39
楼主的题我证明了。
图传不上

谢芝灵：这个推理是错误的！因为：∠3＞∠2 不能得到：CD＞BE。只有在同一个三角形中（或全等三角形中才有楼主的∠3＞∠2 得CD＞BE），楼主预先把△BEC与△BDC 视为全等了。所以这个证明是错误的。  发表于 2017-8-24 09:25

请你搞搞清楚，，人家有两个条件，虽然是两个不同的三角形，但有两条边分别相等，的情况下，夹角越大对边越大，对边越大则夹角越大。。。
所以∠3＞∠2 可以得到 CD＞BE

chaoshikong

谢芝灵 发表于 2017-8-24 11:39
楼主的题我证明了。
图传不上

先把图用电脑打开，保证清晰度的情况下，尽量缩小，然后截图，一个图太大了，则截图成两个，三个发，看看你的高级证明比楼主的高在哪里。

红树

手机拍照图片，截图，无法上传，不知怎么回事，手机拍照图片发送微信好友，重新下载图片，可以上传手机拍照图片，手机拍照图片，重新下载图片，可以上传图片

红树

红树

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