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本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-9-17 18:05 编辑
不预设∠ABC和∠ACB 均为锐角。 在最一般情况下的证明:
1) 已知∠1+∠2=∠3+∠4 ;
在三角形ABC中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠BAC =π (三角形内角和定理)
所以, 2(∠1+∠2)= π - ∠BAC; 所以, ∠1+∠2=∠3+∠4 < π/2; 可见,∠1∠2∠3∠4均小于π/2
2) 不妨设∠3-∠2=s, s>=0 (由对称性,也可以设∠2>=∠3, 以下过程是完全相似的)
有 ∠1=∠3+∠4-∠2= ∠4+s ; ∠1-∠4=∠3-∠2=s , 或∠1+∠3 - (∠2+∠4)=2s; s<π/2;
3) 分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理,因为CE=BD, 所以,CE/BC = BD/BC
可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1) .......(1)
4) 设∠2+∠3+∠4为R ; (1)式左边=
= sin(∠1+∠3)sin(R) = sin(∠1+∠2+s)sin(R) = sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(R)sin(s)cos(∠1+∠2)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)sin(R)cos(∠1+∠2) +
+ [sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) - sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) ] ........(加一项、减一项)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) + sin(s)sin(R-∠1-∠2)
=sin(∠1+∠2)sin(R+s) + sin(s)sin(∠3+∠4-∠1)
=sin(∠4+∠2+s) sin(∠1+∠2+∠3) + sin(s)sin(∠2)
由于∠4+∠2+s = ∠1+∠2 <π/2 ; s>=0 ; s<π/2; ∠2<π/2; 在(0 , π/2)中正弦函数严格递增;
也由于(∠1+∠2+∠3) 不大于π 有 sin(∠1+∠2+∠3) >0
所以: sin(∠4+∠2+s)sin(∠1+∠2+∠3) + sin(s)sin(∠2) >= sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)
且仅当s=0时等号成立。 即 只有∠2=∠3;∠1=∠4时,才有(1)式成立。即∠B=∠C. 证完。
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