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楼主: ccmmjj

几何一探-最弱条件的等腰三角形证明

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发表于 2017-9-15 18:38 | 显示全部楼层
已知条件:∠1+∠2=∠3+∠4,在三角形中两个角相等,等腰三角形
发表于 2017-9-17 08:49 | 显示全部楼层
红树 发表于 2017-9-15 10:38
已知条件:∠1+∠2=∠3+∠4,在三角形中两个角相等,等腰三角形

你如何根据∠1+∠2=∠3+∠4,证明在三角形中两个角相等。
发表于 2017-9-17 17:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-9-17 18:05 编辑

  不预设∠ABC和∠ACB  均为锐角。   在最一般情况下的证明:

1)   已知∠1+∠2=∠3+∠4 ;  
  在三角形ABC中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠BAC =π (三角形内角和定理)
  所以, 2(∠1+∠2)= π - ∠BAC;      所以, ∠1+∠2=∠3+∠4 < π/2;  可见,∠1∠2∠3∠4均小于π/2

2)   不妨设∠3-∠2=s, s>=0       (由对称性,也可以设∠2>=∠3, 以下过程是完全相似的)
  有 ∠1=∠3+∠4-∠2= ∠4+s  ;    ∠1-∠4=∠3-∠2=s , 或∠1+∠3 - (∠2+∠4)=2s;   s<π/2;   


3)  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理,因为CE=BD, 所以,CE/BC = BD/BC
      可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1) .......(1)
     
4)  设∠2+∠3+∠4为R ;                         (1)式左边=
= sin(∠1+∠3)sin(R)  =  sin(∠1+∠2+s)sin(R) = sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s)+sin(R)sin(s)cos(∠1+∠2)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)sin(R)cos(∠1+∠2) +
    +  [sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) - sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2) ]        ........(加一项、减一项)
= sin(R)sin(∠1+∠2)cos(s) + sin(s)cos(R)sin(∠1+∠2)   +  sin(s)sin(R-∠1-∠2)
=sin(∠1+∠2)sin(R+s)    + sin(s)sin(∠3+∠4-∠1)
=sin(∠4+∠2+s) sin(∠1+∠2+∠3) +  sin(s)sin(∠2)
   
由于∠4+∠2+s = ∠1+∠2 <π/2 ;   s>=0 ;  s<π/2; ∠2<π/2;    在(0 , π/2)中正弦函数严格递增;
也由于(∠1+∠2+∠3)  不大于π    有  sin(∠1+∠2+∠3) >0
所以: sin(∠4+∠2+s)sin(∠1+∠2+∠3) + sin(s)sin(∠2)  >=  sin(∠2+∠4)sin(∠1+∠2+∠3)

且仅当s=0时等号成立。  即 只有∠2=∠3;∠1=∠4时,才有(1)式成立。即∠B=∠C.    证完。
发表于 2017-9-17 19:07 | 显示全部楼层
天元酱菜院 发表于 2017-9-17 09:44
不预设∠ABC和∠ACB  均为锐角。   在最一般情况下的证明:

1)   已知∠1+∠2=∠3+∠4 ;  

你这个帖子的第一句话是 “不预设∠ABC和∠ACB  均为锐角。” 所以,你下边的证明,我没有看。因为: 你需要先排除 一个角为钝角的情形。 这个排除的证明,你做过,现在为什么不要了?  
发表于 2017-9-18 00:20 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2017-9-17 19:07
你这个帖子的第一句话是 “不预设∠ABC和∠ACB  均为锐角。” 所以,你下边的证明,我没有看。因为: 你 ...

因为发现在这个证明里, 不必事先规定∠1+∠3  < 90.       有了∠1+∠2=∠3+∠4 < 90 ,
从而,∠1  <90   从而 s+∠4 <90      就够了。

证明中出现的不等式,是   sin(∠1+∠2) >= sin (∠4+∠2) 和     sin(s)sin(∠2) >=0
发表于 2017-9-18 09:25 | 显示全部楼层
天元酱菜院 发表于 2017-9-17 16:20
因为发现在这个证明里, 不必事先规定∠1+∠3  < 90.       有了∠1+∠2=∠3+∠4 < 90 ,
从而,∠1  =0 ...

第一,你的证明里, 有一个设∠2+∠3+∠4为R,这说明你证明的是BD 垂直于AC 的特殊情形。
第二,对于楼主2楼的证明说的 “当∠3>∠2时,可知CD〉BE”的论述,网友谢芝灵提出 “由于不在同一个三角形内,不能这么说”的反对意见。事实上,我们可以做出一个∠B=120度,BC=1,AB=2 ∠2=30度,E点在AB上的两个三角形ΔABC 与ΔBCE,∠B〉∠C,但∠B的对边CE<∠C对边AB;虽然谢芝灵的反对意见与我的这个说明,不能推翻Ccmmjj提出的命题,但Ccmmjj2017 8,16 日所说“虽然写了很多,但作为证明,还是不够”说的话,对他的这个帖子也是适合的。
发表于 2017-9-18 10:43 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 09:25
第一,你的证明里, 有一个设∠2+∠3+∠4为R,这说明你证明的是BD 垂直于AC 的特殊情形。
第二,对于楼 ...

先后顺序要搞清楚啊,,,楼主2楼的证明,是被设为推荐贴后才跑到2楼去的,,,原本是这个证明,是3天之后才发的。。。楼主说证明还是不够,不是对这个贴子说的,,明白么???

本论坛的 推荐贴这个功能,会改变原来楼层的顺序的做法,会改变原意,有点不妥,希望改进之。。。
发表于 2017-9-18 12:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-18 04:53 编辑
chaoshikong 发表于 2017-9-18 02:43
先后顺序要搞清楚啊,,,楼主2楼的证明,是被设为推荐贴后才跑到2楼去的,,,原本是这个证明,是3天之 ...


请你再看一遍我57楼的话。 我本来没有注意到帖子的发表日期,但在天元酱菜院 提出后,我已改了话。我说的是:对于楼主2017 8,17日 2楼的证明说的 “当∠3>∠2时,可知CD〉BE”的论述,网友谢芝灵提出 “由于不在同一个三角形内,不能这么说”的反对意见。事实上,我们可以做出一个∠B=120度,BC=1,AB=2 ∠2=30度,E点在AB上的两个三角形ΔABC 与ΔBCE,∠B〉∠C,但∠B的对边CE<∠C对边AB;虽然谢芝灵的反对意见与我的这个说明,不能推翻Ccmmjj提出的命题,但Ccmmjj前一天2017 8,16 日所说“虽然写了很多,但作为证明,还是不够”说的话,对他的这个帖子也是适合的。
发表于 2017-9-18 19:32 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2017-9-18 12:48
请你再看一遍我57楼的话。 我本来没有注意到帖子的发表日期,但在天元酱菜院 提出后,我已改了话。我说 ...

您举例的这个条件,并不是两边分别相等的两个夹角的关系,只满足题目的两个条件而已,推翻不了楼主的证明

既然推不翻,那做为证明,楼主的正好够了
发表于 2017-9-18 22:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2017-9-18 15:05 编辑
chaoshikong 发表于 2017-9-18 11:32
您举例的这个条件,并不是两边分别相等的两个夹角的关系,只满足题目的两个条件而已,推翻不了楼主的证明 ...


我举的例子说明楼主的说理不充分够。 事实是:请你 按照我举的例子画画图,再做出BD,的两个三角形ΔBCE 与ΔBCD,∠3〉∠2,可知∠3的对边CD>∠2对边BE。没有矛盾。 楼主的证明,先画出等腰三角形就不适当。
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