无尽小数与实数关系的应有的改革意见与十点说明

天元酱菜院

还是要分清有理数和无理数的区别。有理数在十进制小数表达上可能是有限小数或无限循环小数。这是一种表达方式。 比如1/3， 要用小数表达的话，可以写成 0.3（3上有一个点，表示循环节），
7.351 / 7  可以表达为1.0501（这里，1上有一个点）42857（这里，7上有一个点），两个点标出了循环节。  即，7351 / 7000 这个分数，若按十进制小数表达，给他一个名字，就是1.050142857（最后6位的1上和7上分别有一个循环节标志）； 有人要写成 1.050142857142857142857......，其实也没有关系，这就是一个名字。——虽然这个名字同时也指出了他在大小排列中的大概位置。

0.333333......，把他看成名字，一个有理数的名字，就好了。
名字嘛，有可能有重名的吗？ （无理数情况下有） 有理数情况下没有。 因为我们可以把循环小数写回分数形式。 就是，按循环节的长度，以99999...(9的个数=循环节长度个数)  去除 循环节内的数字。
1.050142857142857... 这个名字代表的有理数写成分数，就是
1050/1000 + （142857/999999）/1000 = 1.050+ 1/7000 =7351/7000

我们用 【1打】来表示12，大家都认可，为什么用0.3333.....这个符号串来代表1/3,就不行呢？ 只要没有歧义，一个名字而已，张三李四王二麻子。
有什么关系呢？  就因为0.3333.....除了名字的作用，还能表示出他大概大小的位置？ 要计算，最本源的办法是表示回分数。
不过，0.33333.....是可以直接参加计算的，但这是有定理证明其计算结果与用分数计算没有差别后，人们普遍接受的某种规则下，他可以直接参与计算

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怎么证明 0.99999......=1呢， 0.99999......这个名字所指认的有理数，按照循环小数回写为分数的规则去回写。 就是9/9 。 循环节1位，循环内容是9 ， 除数上循环节1位，就是1个9.  小数点后直接就是循环节，所以除10的0次方。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-9 15:26
怎么证明 0.99999......=1呢， 0.99999......这个名字所指认的有理数，按照循环小数回写为分数的规则去回写 ...

你知道无尽循环小数 化为分数的法则。说明你对现有数学理论是记得的。但需要联系实践，说明它的实用意义，说明它的理论依据 。

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曹老： 我们按照逻辑，一层一层来分析。
首先，人们需要区别、记认、交流数字，这就需要有大家认可的【记数】法则。
10以内的自然数，人们各给他们取了一个名字，0,1,2,3，...，9 。 十兄弟各自有各自的名字。
数目大了，无法，也不方便给每个自然数起名，于是就有了进制规则。十个一堆，有几堆并有几个零星的，数目更大了，好，十堆一片， 有多少片零几个堆另几个散的。
这就是十进制。

十进制只是一种规则，我们可以有其他的规则，比如部队，军师旅团营。一军三师一师三旅一旅三团一团三营，那么这就是三进制。（2个军零1个旅零1个营，合多少营呢？ 在三进制规则下可以直接算，可以不必折合回十进制计算）

离散型对象的计数如此，连续型的怎么办？比如就是用尺子量长度。我们可以量出某卷棉布，多少米又多少分米又多少厘米又多少毫米。如果是应用问题，人们谁也不会计较棉布的长度是在多少纳米之间。所以，有限小数也就够用了。

理论数学不同，由于各种研究的需要，要分辨出更细微乃至【极限】上，不同的【长度】数。那就要想办法首先能辨别、记认、乃至沟通交流这一个个的不同对象。 （也就是连续量首先需要记数（第三声））。

无穷多的数，要首先能辨别他们。（然后才谈得上运算）。

在人们认识无理数之前（第一次数学危机之前），当时的人们大量使用着比例，认为比例方法很是可用，也就是如果能按不同的整数倍来缩小尺子的刻度就能量尽各种连续量。换句话说当时的人们认为分数方式可以被用来辨别（命名）不同的量。

后来证明不行，有名的例子是证明了根号2不能通约，一个正方形连对角线的长度都无法记数，这就是发现了无理数。

我们可以用既约分数，给每个有理数一个确切的名字（记数、辨别、交流，此不是彼，更重要的是独一无二）。

无理数却不行，它不是分数，所以我们还得找一种命名的办法。
十进制小数命名法部分解决了这个问题。（说部分解决，是由于对无理数用十进制小数命名规则得到了无限不循环小数，没办法精确分辨出不同的无理数）

（比如，3.1415926535..... 实在是【写不到底】，因为他没底， 他在10万位上多了一个1就不是π了，可谁知道他的10万位应该是几呢？ 10万知道了20万还是不知道）
（扯的有点远，扯回来）

但这是没办法的办法，没有办法给每个实数命名一个独一无二的名字（因为他们总量不可列）

我们认可十进制小数命名法，用来区分辨别和交流不同的实数（包括有理数）。（其实也可以使用其他进制规则，比如47进制，虽然极不方便，但他是可行的）

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我们先不说运算，也先不说十进制命名法规则的原理，（把他放在后面来讨论），我们首先来说，无尽小数（循环，或者不循环），是一个命名法则。第一个作用是区别他们的不同。

这个问题不解决，其他都谈不上。

任在深

天元酱菜院 发表于 2017-9-10 10:31
曹老： 我们按照逻辑，一层一层来分析。
首先，人们需要区别、记认、交流数字，这就需要有大家认可的【记 ...

扯得太多？
可惜都不符合大自然法则，因此你们与曹老是1:1:1扯平！！
该概念其实就是拼凑数学！
拼凑不是数学，更不科学！
因为1+1=2
而   0.9999......+0.9999......永远不等于2！
即使某些人硬性规定等于2，那么此数学就不是严密的，严谨的，属于科学的数学了！！
因此而导致现在数学中还存在那么多猜想和所谓难题？？！
如果纯粹数学是一位亭亭玉立的美女！
那么1=0.9999................就是一个涂脂抹粉的麻脸女人！？
      明白吗？！

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-10 02:31
曹老： 我们按照逻辑，一层一层来分析。
首先，人们需要区别、记认、交流数字，这就需要有大家认可的【记 ...

有理数、无理数的每个数都需要有它的命名。但各个数的名字、符号正能有一个。如果，遇到与分数相等的小数，可以些等式。但分数1/3的十进位小数是永远算不出来的，把永远除不尽的运算看做得到无尽循环小数0.333…… 提出它是1/3的另一个表达式是错误的，需要指出它两的不同意义与各自的用处。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-10 02:31
曹老： 我们按照逻辑，一层一层来分析。
首先，人们需要区别、记认、交流数字，这就需要有大家认可的【记 ...

有理数、无理数的每个数都需要有它的命名。但各个数的名字、符号正能有一个。如果，遇到与分数相等的小数，可以些等式。但分数1/3的十进位小数是永远算不出来的，把永远除不尽的运算看做得到无尽循环小数0.333…… 提出它是1/3的另一个表达式是错误的，需要指出它两的不同意义与各自的用处。
请参看我对等式 1/3=0.333…… 的初步认识的帖子。

天元酱菜院

名字可以有多个，比如我们敬爱的朱德元帅不是还叫玉阶吗？ 国民党里有个很能打仗的将军白崇禧，也叫白健生。回到数字，0.5与1/2，二进制里的  [0].[1], 都表示【半个】。复数1+i 也经常写做 √2e^(π/4 i);
我们有姓名，在学校里有学号，单位里有员工号，有身份证号。 都是指认某一个对象的标识。作为标识，只要在他那个系统中能有效区分彼此，系统与系统间能顺利转换。 就可以了。

数字有不同的标识，是不同的使用场景造成的，也是历史造成的。
有理数以既约分数来表示，大家都没什么异议。 但无理数来了，无理数不能用分数表示。无理数也需要名字，极个别的无理数有被大家认可的特定名字，如 π， 如e ，如物理上在地球环境下的重力加速度g (这个g是有理数吗？我看他是无理数的概率要大得多)；但无理数太多了，不可能都有特定名字，于是就有无限不循环小数来表示他们。 作为实数统一的表示方式，有理数以小数形式来表示是很自然的。

作为有理数，以既约分数表示他是一种选择，以小数（有限小数或无限循环小数）表示他也是一种选择。
我们先抛开运算，其实，加减乘除运算，与集合中任意的封闭二元双射运算地位相同，并不需要在数字表示时候得到优先照顾。

分数表示和小数表示，能做到顺利的一一对应转换。这就够了。

小数表示有一个优点，就是能指出他的大小排列顺序。能直接依据这个【名字】比较出大小。 这是一个优点。其实我们身份证里也包含了地区、生日等信息。名字里包含一些信息是这种编码的优点。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-10 08:43
名字可以有多个，比如我们敬爱的朱德元帅不是还叫玉阶吗？ 国民党里有个很能打仗的将军白崇禧，也叫白健生 ...

无尽小数的性质与实用意义是需要研究的。无尽是指它的位数是无有穷尽的，它与有尽小数不同，它是人们永远写不到底的事物，必须研究它的实际意义与性质。例如：我在 “对等式 1/3=0.333…… 初步认识” 的帖子指出：必须使用恩格斯说到的变数与极限研究方法 认识它，等式两端意义不同，各有各的实用意义。
我的初步 认识是： 第一，左端的  1/3 被现代的数学家定义为分数，它表示一个线段被分成 三分之一 的长度的表达符号，由于线段长度的绝对准三等分难以做到，所以 笔者称它为 理想实数。第二，右端的 0.333…… 被现代的数学家成为无尽循环小数，追根求源，可以发现它是为了寻找1/3 的十进小数表达式得到的一个表达式，认真分析一下这个除法， 可知： 在除法的第一步，使得到0.3 作为商小了，0.4作为商大了，前者是1/3的针对误差界1/10的不足近似值，后者是 针对这个误差界的过剩近似值， 第二步再除，得到针对误差界1/100 的不足近似值0.33与过剩近似值0.34，还可以 进行第三步，第四步， 但进过分析，每一步都是余1，这是一个 永远除不尽的工作，但在除法过程中得到 1/3的 越来越准确的近似值，可以说对于误差界序列{1/10^n}得到不足近似值无穷数列 0.3，0.33，333，…… 与过剩近似值无穷数列 0.4，0.34，0.334，……，按照康托尔实数理论，这两个数列都是康托尔的基本数列，而且相互等价，按照现行的数列极限理论，它两有共同的极限1/3。 其中前一个数列可以简写为 0.333…… 并称它为无尽循环小数。但必须知道它是无穷数列性质的 有界变数，它不能等于定数，等式1/3=0.333... 不成立，成立的 只能是极限性等式 lim n→∞ 0.333……=1/3  或全能近似等式 1/3~0.333……，后者表示一系列近似等式 1/3≈0.3；  1/3≈0.33； 1/3≈0.333； 1/3≈0.3333；……。第三，必须知道：无穷是无有穷尽、无有终了的意思，无穷数列与无尽小数都是 永远写不到底的事物，1/3的绝对准十进小数表达式是不存在的，只能足够多个3的有尽位十进小数足够准近似表示理想实数1/3 的大小。第四，唯物辩证法是建立数学理论的根本法则， 理想与现实、精确与近似、无穷与有穷之间的相互依存对立统一关系是数学理论中的基本关系。 第五，建立数学理论需要尊重逻辑， 但必须知道：正如恩格斯所说: “形式逻辑是逻辑的”初等数学””; 因此, 辩证逻辑好像是逻辑的”高等数学”. 恩格斯指出: “笛卡尔的变数是数学中的转折点, 因此运动和辩证法便进入数学领域……”。   

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有理数的小数表示法和分数表示法是可以互相转换的， 两个转换，或说这两个 一 一 映射，互为逆映射。保证了两套标识等价。

更重要的，是针对全体实数来说，以小数形式表示他们也许是唯一行得通的表示方法。 有理数还可以有个分数表示法，无理数呢？ 太多太多的无理数，我们其实根本没有办法给每一个无理数起一个名字。只能用无限不循环小数表示出某一个无理数在数轴上的大概位置。（这是因为名字，标识，总体上是可列的，而无理数是不可列的） 。仅仅有极少的无理数可以有特定的符号（名字），如 π，如e，如√2。

曹老说无限不循环小数都写不到底，是写不到底。如果能写到底那全体实数就可列了。 我们应该容忍无限不循环小数后面说不清的那部分。

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我们说，有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，首先是实数的名字，用以辨别不同的实数。