设 (x-1)(x+1)^30=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+…+a31x^31 ，求 a0+a1+2a2+3a3+…+31a31 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

王守恩

碰到不会做的题目，要很自然的冒出：简单一点的，我会做吗？！
(x-1)(x+1)^1=x^2-1=1+0-1                      S(1)=1×(2-1)=1
(x-1)(x+1)^2=x^3+x^2-x-1=1+1-1-1        S(2)=1×(3-1)+1×(2-1)=3
(x-1)(x+1)^3=x^4+2x^3-2x-1=1+2+0-2-1 S(3)=1×(4-1)+2×(3-1)=7
(x-1)(x+1)^4=1+3+2-2-3-1                       S(4)=1×(5-1)+3×(4-1)+2×(3-2)=15
(x-1)(x+1)^5=1+4+5+0-5-4-1                   S(5)=1×(6-1)+4×(5-1)+5×(4-2)=31
(x-1)(x+1)^6=1+5+9+5-5-9-5-1                S(6)=1×(7-1)+5×(6-1)+9×(5- 2)+ 5 ×(4-3)=63
(x-1)(x+1)^7=1+6+14+14+0-14-14-6-1     S(7)=1×(8-1)+6×(7-1)+14×(6-2)+14×(5-3)=127
(x-1)(x+1)^8=1+7+20+28+14-14-28-20-   S(8)=1×(9-1)+7×(8-1)+20×(7-2)+28×(6-3)+14×(5-4)=255
(x-1)(x+1)^9=1+8+27+48+42+0-42-48-   S(9)=1×(10-1)+8×(9-1)+27×(8-2)+48×(7-3)+42×(6-4)=511
............  
总结可得：S(30)=2^30 - 1

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。