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设乘积 (1-x)(1+2x)(1-3x)…(1+14x)(1-15x) 的展开式中 x^2 项的系数为 C ,求 |C|

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发表于 2017-9-14 19:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


20179148205889167.jpg
发表于 2017-9-15 13:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-9-15 13:14 编辑

1  - 1        ......1 + 2
      2  -  2
1 + 1        ......1 -  3
    - 3  -  3
1  - 2        ......1 + 4
      4  -  8
1 + 2        ......1 -  5
   -  5  -  10
1  - 3        ......1 + 6
      6  -  18
1 + 3        ......1 -  7
    - 7  -  21
1  - 4        ......1 + 8
      8  -  32
1 + 4        ......1 -   9
    - 9  -  36
1  - 5        ......1 + 10
    10  -  50
1 + 5        ......1 -  11
   -11  -  55
1  - 6        ......1 + 12
    12  -  72
1 + 6        ......1 -  13
   -13  -  78
1  - 7        ......1 + 14
    14  -  98
1 + 7        ......1 -  15
   -15  -  105
1  - 8  -  588
最后结果的前3项是1 - 8 x - 588 x^2
或1×(2+3)+2×(4+5)+3×(6+7)+4×(8+9)+5×(10+11)+6×(12+13)+7×(14+15)=588
发表于 2017-9-15 13:11 | 显示全部楼层
∏ (i=1 to n)   ( 1+ai *x)  展开式的二次项系数,可以证明其为:
  ∑( i=n to 2)   ai  * ∑ (j=i -1, to 1)  aj
于是,本题为    -15*7  +  14*(-7) - 13 * 6 + 12*(-6) - 11*5 + 10*(-5) - 9*4 + 8*(-4) -7*3+6*(-3)
-5*2 +4*(-2)-3*1+2*(-1)

=- 29*7 -25*6 - 21*5 - 17*4 - 13*3 - 9*2 -5
=-203-150-105-68-39-18-5=-588
|c| =588
 楼主| 发表于 2017-9-15 16:49 | 显示全部楼层
谢谢楼上 王守恩天元酱菜院 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

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