再谈平面图5—轮构形的分类

雷明85639720

再谈平面图5—轮构形的分类
雷  明
（二○一七年九月十八日）

1、什么是构形？
在证明四色猜测的过程中往往都要用到“构形”的概念，所以首先我们就说说什么是构形。我认为“构形”就是只有一个顶点未着色的图。构形首先本身就是图，但又不是具体的图，而是具有某种特征的一类只有一个顶点未着色的图的总称。构形是有多种不同类型的，某种类型的构形就是具有相同特征的只有一个顶点未着色的图。这种特征主要是指构形中各链的相互关系特征不仅要相同，而且解决的办法也要相同。
4—轮以下的构形（包括4—轮构形）坎泊已经证明都是可4—着色的，所以我们就直接从5—轮构形谈起。
2、平面图5—轮构形的分类：
平面图5—轮构形主要分为两类，即坎泊的K—构形和赫渥特的H—构形。
K—构形，是可以同时移去两个同色的构形。其中又可分为两个亚类：不需同进移去两个同色的亚类（如图1）和只能同时移去两个同色的亚类（如图2）。
H—构形，是不可同时移去两个同色的构形。其中又可分为两个亚类：有环形链亚类（如图3）和无环形链亚类（如图4）。有环形链亚类又可分为有过1B—2A—3B—……—8A—……—1B的A—B环形链次类（如图3，a）和有过5C—4D—……—6C—7D—……—5C的C—D环形链次类（如图3，b）。无环形链的亚类不分次类，其中A—B链和C—D链各只有一条，均是直链（如图4）。



以前人们总认为只要构形中有连通且相交A—C链和A—D链，就认为这是H—构形，这是不确切的。因为有一些构形虽然图中含有以上两种链，但却是可以同时移去两个同色的。如图5和图6的构形都是可以同时移去两个同色B的。图5无论从那个B开始，不分先后次序的交换B—C链或B—D链，都可以同时移去两个同色B；图6，a先从3B交换B—C，后从1B交换B—D，就可以同时移去两个同色B；图6，b则先从1B交换B—D，后从3B交换B—C，也可以同时移去两个同色B；所以图5和图6的构形都不是H—构形。由于这样的原因，所以我认为H—构形的定义就应是“不可以同时移去两个同色的构形”。

3、各类H—构形解决的办法：
因为所有的K—构形均可以用空出颜色的交换，空出颜色给待着色顶点V着上。所以后面我们着重研究各类H—构形的解决办法。
由于A—B链和C—D链是一对互为相反的链，从图3中也可以看出，只要有了“过1B—2A—3B—……—8A—……—1B的A—B环形链”，就不可能再有“过5C—4D—……—6C—7D—……—5C的C—D环形链”；相反的只要有了“过5C—4D—……—6C—7D—……—5C的C—D环形链”，也就不可能再有“过1B—2A—3B—……—8A—……—1B的A—B环形链”。所以图3，a中，A—B环形链把C—D链分隔成了互不连通的两部分，交换其中任一部分C—D链，都可以使连通且相交叉的A—C链和A—D链变得不连通，使构形变成K—构形；而在图3，b中，则是C—D环形链把链A—B分隔成了互不连通的两部分，交换其中任一部分A—B链，也都可以使连通且相交叉的A—C链和A—D链变得不连通，也使构形变成K—构形。这种交换我们叫它断链交换。
图4是没有环形链的H—构形，A—B链和C—D链都是直链，就是交换了也没有什么作用。现在只剩下了B—C链和B—D链可以交换，且只能交换一种，先移去一个B，使构形转型，再根据转型后的5—轮构形的类型，属于那一类就用那一类的解决办法去解决。由于图4的两个图只是左右的结构上有所不同，是一左一右的关系，所以两图是属于同一类构形，只研究一个（如图4，a）就可以了。


对图4，a（如图7，a）从顶点1交换B—D，得到的是一个只有一条A—C链是连通（如图7，b中的加粗边）的构形，可以先从顶点4交换D—A，再从顶点1交换D—B，同时移去两个同色D的DCD型的K—构形（如图7，b）；对图4，a（如图7，a）从顶点3交换B—C，得到的是一个有环形链A—B（如图8，a中的加粗边）的CDC型的H—构形（如图8，a），再交换被A—B环形链分隔开来的任一条C—D链（如从顶点7交换D—C链），就可使连通且相交叉的D—A链和D—B链断开，使构形变成K—构形（如图8，b）。
4、关于敢峰—米勒图：
前面已经说过了，构形中只要有了“过1B—2A—3B—……—8A—……—1B的A—B环形链”，就不可能再有“过5C—4D—……—6C—7D—……—5C的C—D环形链”；相反的只要有了“过5C—4D—……—6C—7D—……—5C的C—D环形链”，也就不可能再有“过1B—2A—3B—……—8A—……—1B的A—B环形链”。

然而敢峰—米勒图中虽也有环形的A—B链，又有环形的C—D链，但并不是全部通过了1B，2A，3B，8A四个顶点，又回到1B的；也不是全部通过了5C，4D，6C，7D四个顶点，又回到5C的。所以就有多条通过了以上两组四个顶点的一部分顶点的环形的相反链A—B和C—D共存在的可能。如图9的敢峰—米勒图就是这样的构形。图9中的A—B链和C—D链各都有两条不连通的部分，一条是环形链，而另一条是直链。
敢峰—米勒图从有环形链上来说，既是有环形的A—B链，又有环形的C—D链，当然也就可以用两种办法进行解决。交换任一部分A—B链（环形链或直链均可），或交换任一部分C—D链（同样是环形链或直链均可），都可以使图中连通且相交叉的A—C和A—D链开，使构形变成K—构形。这里要注意的是，交换不含以上两组四个顶点中的任何一个顶点的环形链内、外的、不在连通且相交叉的A—C或A—D链上的相反链，是不起任何作用的，是不可能使连通且相交叉的A—C和A—D链中的任何一条断链的。


象敢峰—米勒图一样既有环形的A—B链，又有环形的C—D链的结构的图，还有很多，如图10中的几个都是具有这种结构的构形。

5、敢峰—米勒图类构形的归类问题：
敢峰—米勒图既有环形的A—B链，交换C—D链可以解决问题；也有环形的C—D链，交换A—B链也可以解决问题。那么，按结构相同，解法相同的原则，它就应既可属于有A—B环形链的一类，也可属于有C—D环形链的一类，不单独属于一类。如果硬要把它单独的划为一类，也不是不可以，但其却没有相对应的单独解决的方法。
6、H—构形的不可免集：
根据以上的分析，我认为H—构形的不可免集中就只有两种构形，即：有环形环和无环形链的两类。而有环形链类中又可再分为只有A—B环形链的次类和只有C—D环形链的次类。这几类各都有各自的单独解决办法。或者也可以按环形链的多少分为四类：即没有任何环形链的一类，只有A—B环形链的一类，只有C—D环形链的一类，既有A—B环形链，又有C—D环形链的一类。共四类。这四类也是各有各的解决办法的。

这也可算作一个证明四色猜测的论文吧。


雷  明
二○一七年九月十八日于长安

注：此文已于二○一七年九月十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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