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a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

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发表于 2017-9-23 07:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


201792223584782826.jpg
发表于 2017-10-28 20:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-10-28 20:08 编辑

这题有一个多月了。 看见的证法,总是说服不了我自己去认可。想着放下这题又总是放不下。
今天来了灵感,果然【有了】。

题目:a,b,c均为大于0的实数,a+b+c=1,
试证(a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a) >=1/2
证明:
    (a^2+b^2)/(a+3b) = (a^2+b^2)(3a+b) / [(a+3b)(3a+b)]
=(a^2+b^2)(3a+b) / (3a^2+3b^2+10ab) >= (a^2+b^2)(3a+b) / [3a^2+3b^2+5(a^2+b^2)]
=(a^2+b^2)(3a+b) / (8a^2+8b^2) = (3a+b) /8

同样方法可得:
   (b^2+c^2)/(b+3c)  >=  (3b+c)/8
   (c^2+a^2)/(c+3a)  >= (3c+a)/8

所以有:
   (a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a)
>=  [(3a+b)+(3b+c)+(3c+a)] /8 =4(a+b+c)/8 =1/2   
证毕

思路轨迹: 开始时看到本题3项的对称方式, 还有一个对称。
即: (a^2+b^2)/(a+3b) 与 (a^2+b^2)/(3a+b) 是一种对称,
相应的   (b^2+c^2)/(b+3c) 与(b^2+c^2)/(3b+c) 对称
            (c^2+a^2)/(c+3a) 与 (c^2+a^2)/ (3c+a) 对称
即,这6项才是一个完全的对称结构。
想到尝试  [(a^2+b^2)/(2*(a+3b))  + (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]   +
          +  [  (a^2+b^2) / (2*(a+3b))  - (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]
通分后分母出现了令人鼓舞的情况。 并且计算的结果与分子分母同乘 (3a+b)效果一致。


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发表于 2017-10-28 20:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-10-28 23:09 编辑

可以推广到: a,b,c,u,v 均大于0,  a+b+c=1,  
则有
(a^2+b^2) / (ua+vb) + (b^2+c^2) / (ub+vc) + (c^2+a^2)/(uc+va)   >=  2 / (u+v)


还可以从3项推广到多项。

a(i) >0  (i=1,2,3,.....n);    u,v大于0, 且 ∑(i=1 to n) a(i)  =1          (其中n>=2)

则有:
  ( a(n) ^2+ a(1)^2) / ( a(n)*u+a(1)*v) + ∑ (i=1 to n-1)  [ ( a(i)^2+a(i+1)^2) / ( a(i) *u + a(i+1)*v) ]  >= 2 / (u+v)
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发表于 2017-10-9 19:18 | 显示全部楼层
靠的就是,轮换对成性!


三式相等,
最后,a,b,c三个参数相等


XF做得完全正确
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发表于 2017-10-7 12:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2017-10-7 16:34 编辑

试证明.............................................................

xyz.jpg
 楼主| 发表于 2017-10-7 13:53 | 显示全部楼层
谢谢楼上 xfhaoym 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
发表于 2017-10-7 14:11 | 显示全部楼层
此题一直想了若干天,也没头绪。

2楼说 当三个分式项相等时有最小值。希望能将这一论断的依据解释一下。
发表于 2017-10-7 17:18 | 显示全部楼层
回LS的:那是因为有a+b+c+.....>=n(abc....)^1/n

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发表于 2017-10-8 13:44
发表于 2017-10-7 19:35 | 显示全部楼层
已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≤√3。难道也可a=b=c=1/3就行了?

点评

由于 (√a+√b+√c)^2 =(a+b+c) + 2√(ab)+2√(bc)+ 2√(ac) <= 1 + (a+b) + (b+c) + (c+a) =3 所以 √a+√b+√c < √3  发表于 2017-10-29 17:44
发表于 2017-10-8 16:39 | 显示全部楼层
已知a,b>0,a+b=1,证明:1/a+1/b≥4。
证1:当1/a=1/b时有最小值,所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。所以有2×(1/a)=2×(1/2)=4。所以1/a+1/b≥4。
证2:因为a,b>0,所以1=a+b≥2√ab,即4ab≤1。所以1/ab≥4,即(a+b)/(ab)≥4,从而1/a+1/b≥4。
有两种证明方法吗?

点评

证3: 1/a+1/b = (b+a) /ab = (b+a)*1 / ab =(b+a)^2 /ab = (a^2+2ab+b^2)/ab >= 4ab / ab=4  发表于 2017-10-28 20:31
还有第三种:设a=(sint)^2; b=(cost)^2; 1/a + 1/b = 2 + (tgt)^2 + (ctgt)^2 >= 2+ 2(tgt)(ctgt) =4  发表于 2017-10-8 21:15
发表于 2017-10-8 16:49 | 显示全部楼层
回LS的:这问题挺好!
已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≤√3应改成已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≥
√3
如果用上述公式作就是√a+√b+√c≥
√3=1.732
可是不对!如果设a=1/2,b=c=1/4.代入上式就得√a+√b+√c=1.707.
所以说最小值不是√3=1.732.

为什么是这样?
下来再谈.   
发表于 2017-10-8 17:13 | 显示全部楼层
√a+√b+√c)^2
=a+b+c+2√ab+2√bc+2√ca
=1+2√ab+2√bc+2√ca
≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a)
=1+2(a+b+c)
=3
∴√a+√b+√c≤√3
发表于 2017-10-8 21:19 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2017-10-8 16:39
已知a,b>0,a+b=1,证明:1/a+1/b≥4。
证1:当1/a=1/b时有最小值,所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。 ...

误会了
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