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a,b,c>0,a+b+c=1,证明:(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

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发表于 2017-9-23 07:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


201792223584782826.jpg
发表于 2017-10-7 12:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2017-10-7 16:34 编辑

试证明.............................................................

xyz.jpg
 楼主| 发表于 2017-10-7 13:53 | 显示全部楼层
谢谢楼上 xfhaoym 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
发表于 2017-10-7 14:11 | 显示全部楼层
此题一直想了若干天,也没头绪。

2楼说 当三个分式项相等时有最小值。希望能将这一论断的依据解释一下。
发表于 2017-10-7 17:18 | 显示全部楼层
回LS的:那是因为有a+b+c+.....>=n(abc....)^1/n

点评

发表于 2017-10-8 13:44
发表于 2017-10-7 19:35 | 显示全部楼层
已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≤√3。难道也可a=b=c=1/3就行了?
发表于 2017-10-8 16:39 | 显示全部楼层
已知a,b>0,a+b=1,证明:1/a+1/b≥4。
证1:当1/a=1/b时有最小值,所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。所以有2×(1/a)=2×(1/2)=4。所以1/a+1/b≥4。
证2:因为a,b>0,所以1=a+b≥2√ab,即4ab≤1。所以1/ab≥4,即(a+b)/(ab)≥4,从而1/a+1/b≥4。
有两种证明方法吗?

点评

还有第三种:设a=(sint)^2; b=(cost)^2; 1/a + 1/b = 2 + (tgt)^2 + (ctgt)^2 >= 2+ 2(tgt)(ctgt) =4  发表于 2017-10-8 21:15
发表于 2017-10-8 16:49 | 显示全部楼层
回LS的:这问题挺好!
已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≤√3应改成已知a,b,c>0,a+b+c=1,证明:√a+√b+√c≥
√3
如果用上述公式作就是√a+√b+√c≥
√3=1.732
可是不对!如果设a=1/2,b=c=1/4.代入上式就得√a+√b+√c=1.707.
所以说最小值不是√3=1.732.

为什么是这样?
下来再谈.   
发表于 2017-10-8 17:13 | 显示全部楼层
√a+√b+√c)^2
=a+b+c+2√ab+2√bc+2√ca
=1+2√ab+2√bc+2√ca
≤1+(a+b)+(b+c)+(c+a)
=1+2(a+b+c)
=3
∴√a+√b+√c≤√3
发表于 2017-10-8 21:19 | 显示全部楼层
波斯猫猫 发表于 2017-10-8 16:39
已知a,b>0,a+b=1,证明:1/a+1/b≥4。
证1:当1/a=1/b时有最小值,所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。 ...

误会了
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