a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

xfhaoym

试证明.............................................................

luyuanhong

谢谢楼上 xfhaoym 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

此题一直想了若干天，也没头绪。

2楼说 当三个分式项相等时有最小值。希望能将这一论断的依据解释一下。

xfhaoym

回LS的:那是因为有a+b+c+.....>=n(abc....)^1/n

波斯猫猫

已知a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：√a+√b+√c≤√3。难道也可a=b=c=1/3就行了？

波斯猫猫

已知a,b＞0，a+b=1，证明：1/a+1/b≥4。
证1：当1/a=1/b时有最小值，所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。所以有2×（1/a）=2×（1/2）=4。所以1/a+1/b≥4。
证2：因为a,b＞0，所以1=a+b≥2√ab，即4ab≤1。所以1/ab≥4，即（a+b）/（ab）≥4，从而1/a+1/b≥4。
有两种证明方法吗？

xfhaoym

回LS的:这问题挺好!
已知a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：√a+√b+√c≤√3应改成已知a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：√a+√b+√c≥
√3
如果用上述公式作就是√a+√b+√c≥
√3=1.732
可是不对!如果设a=1/2,b=c=1/4.代入上式就得√a+√b+√c=1.707.
所以说最小值不是√3=1.732.

为什么是这样?
下来再谈.   

波斯猫猫

证√a＋√b＋√c)^2
＝a＋b＋c+2√ab＋2√bc＋2√ca
＝1＋2√ab＋2√bc＋2√ca
≤1＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
＝1＋2（a＋b＋c）
＝3
∴√a＋√b＋√c≤√3

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2017-10-8 16:39
已知a,b＞0，a+b=1，证明：1/a+1/b≥4。
证1：当1/a=1/b时有最小值，所以有a=b。因为a+b=1,所以a=b=1/2。 ...

误会了