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本帖最后由 elim 于 2017-10-7 07:14 编辑
大致说来,首先得给出曲线长度的定义: 通俗地说,从曲线段一端点到另一端点的途径上任取有限个点,它们按路径顺序构成一折线, 其的长度被其节点完全确定。记这些折线长度所构成的集合为 E, 如果 E 是有界集,则其上确界 sup(E), 就是这曲线段的长度。
根据现行实数理论,上述定义唯一确定了一个实数,它是直径为 1 的圆周 O 的长度,称其为 Pi. 现在考虑任意直径 d 的圆 O'. 我们要证明它的周长 P = d×Pi.
任取 ε > 0, 由 P 的定义,存在 O' 的内接多边形 Γ’, 其周长 p(Γ’) 满足 P- ε < p(Γ’) < P, 取 O 的与 O' 相似的多边形 Γ,由相似关系知道 d× p(Γ) = p(Γ’), 所以有 P- ε < d× p(Γ) < d× Pi, 由 ε 的任意性, P ≤ d× Pi (1)
反过来, 由 Pi 的定义,可取得 O 的内接多边形 Γ 使得 Pi -ε/d < p( Γ) < Pi, 现取 O' 的与 Γ 相似的内接多边形 Γ’,则有 d× p(Γ) = p(Γ’),于是有 d× Pi -ε = d× p(Γ) = p(Γ’) < P, 进而得到 d× Pi ≤ P (2).
综合 (1),(2) 得 d× Pi = P, P/d = Pi, 即任何圆周的周长与直径之比等于定数 Pi.
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