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f 是严格单增凸连续函数,f(0)=0,f(1)=1,g(f(x))=x,证明 ∫(0,1)f(x)g(x)dx≤1/3

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发表于 2017-10-10 20:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


2017101012485388738.jpg
发表于 2017-10-14 18:15 | 显示全部楼层
这个问题不简单。问一下这是出自哪本书,哪一章节的问题?
发表于 2017-10-15 01:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2017-10-14 16:13 编辑

证明 f(x)g(x) ≤ x^2

奇怪为什么以前没注意...
发表于 2017-10-15 03:21 | 显示全部楼层
1-3 or less.gif

所以所论积分不大于 1/3, 等号当且仅当 f(x) = x 时成立。
发表于 2017-10-15 06:28 | 显示全部楼层
xxx.gif

点评

漂亮的证明。我想到了用x^2来比较,但没想到用凸性产生的线段比。还有你这个利用凸性的形式化书写相当简捷,真是让我有业务生疏,不胜唏嘘之感!  发表于 2017-10-15 15:37
 楼主| 发表于 2017-10-15 07:54 | 显示全部楼层
楼上 elim 的解答很好!我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
发表于 2017-10-16 10:44 | 显示全部楼层
以后多出些这样的好题。
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