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虚数及其几何构造 数的属性 狭义虚数
关键词:虚数概念 证明虚数的几何构造 数的属性 属性符号 狭义虚数
虚数是什么? 笛卡尔给出了虚数名称,但他不理解它;柯西亲手创立了复变函数理论,但他也不同意把虚数作为数,直到十九世纪,高斯等人给出了复数及其代数运算的几何解释之后,人们才逐渐消除了对虚数的疑虑,此后虚数得到了广泛的运用并给出了种种真实的结果,这就是虚数目前的现状。那么,虚数到底是什么,其现实基础或背景是怎样的?那个经常应用的几何解释是怎么来的?有谁证明过呢?没有,一切都没有。所有这些问题至今都还是个迷。至于√-1究竟又是什么含义?等等,而这些正是本文要为您揭示的。
一、 虚数的概念、数的属性、虚数的矛盾内涵、虚数的几何构造
(一)、虚数的概念
我们知道,虚数是在解方程过程中,对负数实施开方产生的。那么下面我们就从产生虚数过程中涉及到的有关“开方”、“负数”和“实数”以及所运用的“运算原则” 等概念和操作出发,来分析和阐释虚数的所有问题。
设存在一个方程A:x2+4=0 并求解方程A
解 x2+4=0 变换得
x2=-4 …1
x=±√-4 …2
这是虚数“x=±√-4 ”的一个极普通的例子。分析解方程A的过程如下:
1、 运算。在现行的数学演算规则中,所有的运算,如加、减、乘、除(包括开方)都可以无限次的反复使用。那么在这种无限次的使用的过程中就足以产生像x2+4=0这样的式子。
2、 乘法原则。乘法原则规定:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
由解方程A第1步x2=-4 得 xx=-4
如果x是一个不为0的实数,那么两个相同的x必为同号,所以xx的乘积必为正数(同号得正),因此,当解题进行到这一步时,已经表明不可能有任何实数满足这个方程。但是,按照解方程的需求,运算仍将继续,那么解出的根是什么数呢?
3、 非实数根的产生。当运算进行到第2步时,得到方程的根x=±√-4。前面我们已经论证了没有实数能够满足方程A,所以解得的方程的根±√-4就不是实数,因此它不属于R(实数集),当然这个根也不属于实数-4(虽然它来源于对-4的开方),因此它与实数(或实数集)的关系是一种“绝对不属于”或“恒不属于”的关系。而“绝对不属于”和“恒不属于”是一种包含着“矛盾或不相容”含义的词汇,在以严格的“数理逻辑”为基础的推理过程中,怎么会产生矛盾和不相容呢?是规则出现了问题还是逻辑发生了混沌?而这也恰恰是“幽灵虚数”困扰人们的地方。
虚数究竟是什么?根据上述三点,我们给出虚数的概念:虚数是在对负数进行开方运算中产生的,与实数(或实数集)具有“恒不属于但关联且相容”关系的超延数。对虚数的概念解释如下:
1、恒不属于:在前面已经论述了虚数恒不属于实数;
2、关联:虚数与实数相关联是因为虚数来源并产生于实数;
3、相容:因为虚数与实数相关联,并且逆运算也成立,所以与之相容;
4、超延数:对于方程A的根±√-4,此前我们已经称之为“虚数”,这是相对于“实数”的一种叫法,其实,它是在实数运算中产生但超出实数范畴或实数集外延的数,是在某种特定条件或一定规则下产生的超延数,因此,科学的叫法应该是“超延数”。但为方便起见,在下面的论述中,我们仍会使用通俗的称谓:虚数。
(二)、数的属性标志(符号)
毕达哥拉斯说:万物皆数,柏拉图和罗素还说:数不可相加。所有这些都似乎说明两个问题,一是数是人类认识世界的工具,二是数具有数、量或类等等这样那样的不同特点,即使人类在计算和使用时更多的使其具有抽象性,但数的不同含义仍不时显现,并可能造成矛盾和混乱。数的特点就是,每个数都含有数、量、类或代表不同抽象性的事物,它们统一构成数的属性,有些数属性相同,有些则不同。数的不同属性或相同属性怎样标记呢?
1、不同属性的标记。在前面解方程A时得到x=±√-4 …2 对2式继续变换得 x=±√-4=±2√-1
现在对方程的根±2√-1 进行对比分析:在前面我们已经证明,根±2√-1不属于实数,但是根中的±2是属于实数的,所以只有一种可能就是根中的√-1是代表“不属于”的含义的。由于所有虚数(超延数)都可以表示为x√-1(x∈R)的形式,所以“√-1”就是“不属于”这一描述关系词语的数学标志,因此“√-1”就代表“不属于”或“超延”的含义。所以凡有不同属性出现或进行运算的,原则上数后应加标√-1,比如2和3具有不同属性,如果二者相加,则可写成:2√-1+3√-1。我们知道,现在对√-1的简易记作是i,所以i就是“不属于”的标志或“不属于”符号,人们目前把它叫做虚数的单位。
2、相同属性的标志。相同属性用“√1”标志。比如:2+3,因为2与3具有相同属性,所以应写成2√1+3√1,。我们看到,相同属性的数进行运算时属性标记“√1”是可以省略的。关于这一点,人类在千百年以前就已经这样做了。
√1和√-1就是属性符号。
可以说,自从“数”产生以来就有属性标志,只不过相同属性标志“√1”,一开始就被人类省略掉了;而不同属性标志“√-1”在数百年前(大约是卡尔达诺时代)出现后,人们又不知晓其“语言含义”,所以它就像幽灵一样一直袭扰着人们的心智。
综合上述分析,对数的功能和不同特性可以概括为:万物皆数,万数皆属。
(三)、虚数概念的矛盾内涵
下面让我们清晰地列举出虚数“恒不属于但关联且相容”关系中所包含的矛盾
1、在虚数与实数关系中,承认P&¬P,与逻辑学中的“不矛盾律”相矛盾;
2、虚数中的关系语言不符合几何公理的要求
在希尔伯特的《几何基础》中,不经定义(公设)的点、线、面之间的相互关系用“关联”(“在…之上”、“属于”)〔1〕等词来描述。在这里,我们看到“关联”用“在”…之上”和“属于”表示,其意思是“关联”与“属于”是一致甚或同一的,起码是不矛盾的,但是在虚数关系中却存在“恒不属于”而且“关联”,既然虚数概念的实质内涵与几何公设相矛盾,为什么虚数与实数的代数运算却被数学家高斯等人用“几何”解释表示了出来,并且运用自如、效果良好呢?这种解释正确吗?饱含矛盾的“恒不属于但关联且相容”的逻辑混沌语言到底有着怎样的数学计算或数学解释呢?
(四)、虚数与实数“恒不属于但关联且相容”关系的几何构造与运算规则
下面用几何形式来建构“恒不属于但关联且相容”的数学意义
ⅰ、证明关联性
设 有两条线段OA和OB 令线段OA=a a∈R; OB=b b∈R O是两条线段的公共点
∵ 不论两条线段的位置如何 a、b在O点都结合或联接
∴b与a相关联 关联性得证。
ⅱ、证明归属性
由证明ⅰ得,a、b在O点关联,两线段的位置关系只有两种情况:一是在同一直线上;二是不在同一直线上.
如果是第一种情况,则a、b同属于一条直线,表明b与a具有归属性,此结论不符合“恒不属于”的要求。所以我们只能考虑第二种情况:b与a不在同一直线上。按此要求
设 OA、OB联接并形成夹角 顶点O
此时b与a形成“关联”、“不属于”的关系
当线段OB上的所有点都距离线段OA最远时,即OB⊥OA时(如图1)不属于程度最高,即达到“恒”不属于的程度,即b恒不属于a,此时,b才可用bi来代替,i是“不属于”标记,bi表示线段b恒不属于线段a
图1(因本人不会做图故省略)
这就是实数与虚数关系的几何构造。OB称为虚轴。
ⅲ、相容性
由于a与bi具有相容性,所以可写成a+bi(相加)的形式;而又因为a与b具有相互垂直的几何构造,所以a+bi的运算符合向量的运算规则。即现在正在使用的复数运算规则。
结合数的属性,a+bi应该写成a√1+b√-1,我们可以清楚地看出a√1+b√-1(或复数a+bi)不过是带有属性符号的不同属性的数相加而已,即√-1仅仅只是符号,因此复平面的点(a,b)才完全可以与复数a√1+b√-1相对应。
综上所述,我们就证明了复数中虚数与实数关系的几何构造与运算规则。高斯等人给出的关于复数的代数运算的几何解释与本证明相符。
二、狭义虚数
上述虚数是在人类制定的某种规则或标准(如乘法原则)的前提下、对数实施运算产生的,我们把这种在制式(或格式化)条件下诞生的虚数(超延数)叫做狭义虚数。那么在其他形式下也可以产生虚数吗?如果有是否叫广义虚数?虚数除了在运算中产生,是否还存在于其他领域?产生虚数的直接原因和根本原因到底是什么?虚数与人类的意识思维有什么关系?还有“无”是怎样创造的?等等问题,笔者将在下一篇论文中论述。
〔参考文献〕
〔1〕希尔伯特.《几何基础》.北京大学出版社 第一章 3页
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