|
|
本帖最后由 愚工688 于 2019-6-30 11:50 编辑
要证明歌德巴赫猜想，则必须搞明白偶数分成两个素数的分法数量的变化是否具有规律性。
本文只讲述偶数分成两个素数的分法，即通常大家所谓的“1+1”这个歌德巴赫猜想的实际素对问题。
把任意一个大于5的偶数M分成两个整数，可以用A-x 与A+x 的模式来表达（A=M/2）。
在这个模式下，A-x与A+x是否同时成为素数只与变量x的值有关，只取决于x与偶数半值A之间的对应关系。
依据这种对应关系，我们可以轻易的得到：
1．偶数M分成两个素数A-x与A+x的全部的x值；
2．用一个表达式来对x值的数量进行近似的计算。
一）一个偶数分成两个素数的分法数量可以看作一个概率问题的数学原理
判断偶数M所分成的A-x与A+x两个数是否都是素数，依据艾拉托尼筛法，可有如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为≤√(M-2)的最大素数, 下同。]
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数都是素数；
若把x值的取值范围[0，A-3]里面符合条件a的x值的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量 S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) .---------（式1）
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a，可看成变量x符合某种由偶数半值A所限定条件的数，其在自然数区间[0，A-3] 中的分布规律，可归纳为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、jr及(r -jr)的数的发生概率问题，这里的j2,j3,…,jn,…，jr系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
我们知道，对于一个自然数区域里面的数，
分别除以2、3以及其它素数5，…，r 时得到的余数都是以该被除素数的值为周期循环变化，而偶数数列、奇数数列除以2以外的其它素数3，5，…，r 时得到的余数仍然是以该被除的素数值为周期循环变化。这反映了自然数除以不同素数得到的余数具有互相独立的特性。
由于符合条件a的x值，就是除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的数。
显然在x取值的自然数区间[0,A-3]中，
除以2时，余数满足不等于j2 的数的发生概率为1/2；
除以3时，余数满足不等于j3 及（3-j3 ）的数的发生概率为（3-2）/3，（j3≠0时）；或发生概率为（3-1）/3，（j3=0时）；
除以5时，余数满足不等于j5 及（5-j5 ）的数的发生概率为（5-2）/5，（j5≠0时）；或发生概率为（5-1）/5，（j=0时）；
…
除以n时，余数满足不等于jn 及（n-jn）的数的发生概率为（n-2）/n，（jn≠0时）；或发生概率为（n-1）/n，（jn=0时）；
…
除以r时，余数满足不等于jr 及（r-jr）的数的发生概率为（r-2）/r，（jr≠0时）；或发生概率为（r-1）/r，（jr=0时）；
因此依据概率的独立事件的乘法原理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
实际上，素数连乘式{式3}隐含了偶数2A的素数对A±x 的x值条件：x除以素数n时余数不等于jn以及它的补数(n-jn)的必要条件。所以说随意的更改素数连乘式的因子是不适合的。
实例：
M= 120 ，A= 60 ,
≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ， A除以素数2，3，5，7的余数分别是j2=0，j3=0，j5=0，j7=4；在[0，57]区间里面同时满足：x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠0、x除以5的余数≠0、x除以7的余数≠4与3的x值有
x= : 1 ， 7， 13 ， 19 ， 23 ， 29 ， 37 ， 41 ，43 ， 47 ， 49 ，( 53 ) ——括号内是S2(m)的值，下同；
代入 M= （A-x ）+（ A+x ） 的模式，得到120的全部素对： 59 + 61 ，53 + 67，47 + 73， 41 + 79 ，37 + 83 ，31 + 89 ，23 + 97 ，19 + 101 ，17 + 103 ，13 + 107 ，11 + 109 ，7 + 113.
M=120 ，S(m)= 12 ，S1(m)= 11 ， Sp(m)= 11.05 ，δ1(m)= 0 ，δ(m)= -0.0792 ，K(m)= 2.67 ， r= 7
而x值的概率计算数量Sp( 120)的计算式与相对误差δ(m)的计算式子分别为：
Sp( 120)=[( 120/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 11.05
δ1(120)=(11.05-11)/11=-0.95/11 = 0.0045 ；（计算值对符合条件a的素对数的相对误差）
δ(120)=(11.05-12)/12=-0.95/12 = -0.0792 ；（计算值对全部素对数的相对误差，略小于δ1）
由于连乘式对偶数的素对数量的计算值的相对误差，存在着一个相对误差值偏移问题，即随着偶数的增大，小区域内偶数的素对计算值的相对误差平均值会逐渐离开0位处逐渐趋于0.21附近，并且大偶数区域各个偶数的素对计算值的相对误差的波动会变得很小，因此对于比较大的偶数的素对的计算，需要采用一个相对误差偏移的修正系数。
从相对误差的定义来讲：
δ=（计算值-真值）/真值，
整理后可得：
真值=计算值/（1+δ）；-----（式4），这是一个恒等式。
当然我们不可能预先得到一个大偶数的连乘式的相对误差值，相对误差值只有得出真值后才能计算出来。
由于大偶数区域各个偶数的相对误差的波动很小，相当接近。那么我们可以用一个均值μ来替代式4中的相对误差δ，那么我们就可以对一个比较大区域内的偶数的素对数量， 进行比较高精度的计算了。
如果用一个比较大偶数的相对误差统计均值均值μ代人后计算相对小一些的偶数，那么就可以得到小于真值的下界计算值inf(M)。我在103楼的示例就是这样。
如果把连续偶数的下界计算值inf(M)中消除掉偶数含有的素因子的影响，即得到该区域的区域下界计算值infS(m).
infS(m)=inf(M)/k(m); --------------- （式5）
infS(m)值略小于该区域的素对低位真值，并且infS(m)值是随偶数增大而单调增大的。
例：
在具有波动性的偶数M的素对下界计算值 inf( m)的相对误差绝对值小于0.001的情况下，inf( m )图形几乎与真值 G(M)的图形重合。大小变化规律几乎完全一致。
而偶数表法数的区域下界函数值infS（m)则随着偶数的增大，始终缓慢的攀升，表明大偶数的表法数下限是逐渐上升的。
( 10000000000 *)≈ 18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333
G(10000000002) = 27302893；
Sp( 10000000002 *)≈ 27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2
G(10000000004) = 13655366；
Sp( 10000000004 *)≈ 13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1
G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈ 13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068
G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈ 27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905
G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈ 28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351
G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈ 13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002
G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈ 27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436
G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈ 13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418
G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈ 13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971
G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈ 37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519
G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈ 13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018
G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈ 16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481
G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈ 28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494
G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈ 13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122
G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈ 19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141
G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈ 32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037
因此偶数哥猜是必然成立的。虽然上面计算的区域下界值的修正系数μ是分区渐近增大的。
如果不需要比较高的精度，那么采取修正系数 μ=0.21是适宜。
infS(m)= inf(M)/ K(m) =0.413(A-2)*π(1-2/r)；---- （式6），( M≥6 的任意偶数,r——奇素数）
素因子系数 K(m) =π[(p1-1)/(p1-2)], p1系偶数含有的奇素因子，p1≤r≤√(M-2) .
（式6）计算的区域下界值的相对误差绝对值在1000亿的连续偶数时小于0.05.
例：
G(100000000000) = 149091160；;inf( 100000000000 ) = 1/(1+ .21 )*( 100000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 142957976.6 , Δ≈-0.041137
G(100000000002) = 268556111；;inf( 100000000002 ) = 1/(1+ .21 )*( 100000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 257491343.1 , Δ≈-0.041201
G(100000000004) = 111836359；;inf( 100000000004 ) = 1/(1+ .21 )*( 100000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 107224584.4 , Δ≈-0.041239,
G(100000000006) = 111843604；inf( 100000000006 ) = 1/(1+ .21 )*( 100000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 107245660.7 , Δ≈-0.041110
G(100000000008) = 223655943；inf( 100000000008 ) = 1/(1+ .21 )*( 100000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 214436964.8 , Δ≈-0.041219,
并且随着偶数增大，相对误差绝对值将进一步的缩小。如5000亿的连续偶数的相对误差绝对值会小于0.04 。
G(500000000000) = 655630055；
inf( 500000000000 )≈ 631936977.1 , Δ≈-0.0361379 ；infS(m) = 473952732.79 , k(m)= 1.33333
G(500000000002) = 530781937；
inf( 500000000002 )≈ 511599914 , Δ≈-0.0361392 ；infS(m) = 473952732.79 , k(m)= 1.07943
G(500000000004) = 984045373；
inf( 500000000004 )≈ 948474778.2 , Δ≈-0.0361473 ；infS(m) = 473952732.79 , k(m)= 2.0012
G(500000000006) = 567966779；
inf( 500000000006 )≈ 547453424 , Δ≈-0.0361172 ；infS(m) = 473952732.79 , k(m)= 1.15508
G(500000000008) = 491750094；
inf( 500000000008 )≈ 473988706.4 , Δ≈-0.0361187 ；infS(m) = 473952732.79 , k(m)= 1.00008
time start =10:33:05 ,time end =10:48:27
计算式：
inf( 500000000000 ) = 1/(1+ .21 )*( 500000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 631936977.1
inf( 500000000002 ) = 1/(1+ .21 )*( 500000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 511599914
inf( 500000000004 ) = 1/(1+ .21 )*( 500000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 948474778.2
inf( 500000000006 ) = 1/(1+ .21 )*( 500000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 547453424
inf( 500000000008 ) = 1/(1+ .21 )*( 500000000008 /2 -2)*p(m) ≈ 473988706.4
附录：偶数表为两个素数和的表法数计算值的样本偶数相对误差δ(m)的统计计算摘录:
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本相对误差平均值）
M=[ 6 , 100 ] r= 7 n= 48 μ=-.2418 σχ= .2292 δmin=-.625 δmax= .3429
M=[ 6 , 10000 ] r= 97 n= 4998 μ=-.075 σχ= .0736 δmin=-.625 δmax= .3429
[ 30002 , 40000 ] r= 199 n= 5000 μ=-.0037 σχ= .0263 δmin=-.1034 δmax= .1101
[ 40002 , 50000 ] r= 223 n= 5000 μ= .005 σχ= .0253 δmin=-.1021 δmax= .1131
[ 100002 , 110000 ] r= 331 n= 5000 μ= .0233 σχ= .017 δmin=-.0381 δmax= .0906
[ 150002 , 150100 ] : n= 50 μ= .0316 σχ= .0135 δmin= .0004 δmax= .0589
[10000000 - 10000100] : n= 51 μ= .10032 σχ= .00256 δmin= .09543 δmax= .10503
100000000 - 100000098 : n= 50 μ= .1192 σx= .0013 δmin= .1156 δmax= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368 σx= .0004 δmin= .1356 δmax= .138
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494 σx= .0002 δmin= .1491 δmax= .1497
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001 δmin= .15474 δmax= .15519
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571 σx= .0001 δmin= .1569 δmax= .1573
50000000000 - 50000000048 : n= 25 μ= .157047 σx = .000095 δmin = .15688 δmax = .15725
70000000000 - 70000000048 : n= 25 μ= .158689 σx = .000061 δmin = .158571 δmax = .158863
80000000000 - 80000000048 : n= 25 μ= .159080 σx = .000052 δmin = .158896 δmax = .159196
100000000000-100000000048 : n= 25 μ= .160175 σx = .000049 δmin = .16005 δmax = .16026
200000000000-200000000048 : n= 25 μ= .162808 σx = .000041 δmin = .16272 δmax = .16289
400000000000-400000000038 : n= 20 μ= .16544 σx = .000024 δmin = .165403 δmax = .165486
可以看到，1000亿样本的μ值与4000亿样本的均值差距并不大。因此使用 μ= .16544 代人(式4),就可以计算1000亿-3000亿区域任意偶数的高精度素对下界值；
用1000亿样本的μ值 μ= .160175 代人(式4)，就可以计算500亿-900亿区域任意偶数的高精度素对下界值；计算1000亿附近的偶数，就会出现正相对误差，但是相对误差绝对值会很小。
也可以看到小偶数区域，素对计算值的相对误差的极值 δmin与δmax有一定差距，用修正的方法不一定能得到高精度下界计算值。至少要千万级别的偶数才行。
|
|
[复制链接]
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-6-26 15:27
显身卡
楼主