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本帖最后由 天元酱菜院 于 2017-11-22 00:25 编辑
证明:
(1) 3^(1/3) 和 9^(1/3) 都是无理数。
以 9^(1/3) 为例,若9^(1/3)为有理数,9^(1/3)= p/q...... p与q为互质的正整数。
9 = p^3 / q^3,所以 p^3 = 9* q^3,所以,整数p含有3作为因子,p=3s
9= 27 s^3 /q^3, 1=3 s^3 /q^3, 所以 3 s^3 = q^3 所以 , q含有3作为因子
p与q都含有3作为因子与p与q互质矛盾。所以, 9^(1/3) 不是有理数。
类似可证 3^(1/3) 不是有理数。
(2)若a为0, 则b必定为0, 从而c也为0。
假若a=0, b不为0,则有 3^(1/3) *b +c=0, 则有 3^(1/3) *b 为有理数,
则有 3^(1/3) = 3^(1/3) *b / b 为有理数,这与(1)证得结果矛盾,所以a为0时b必定为0
当a,b均为0时, 有 9^(1/3)a+3^(1/3)b + c = c =0;
(3)若a不为0,则b必定不为0。
假若a不为0,b为0, 则有 9^(1/3) a +c=0 则9^(1/3)*a 为有理数,
则有9^(1/3) 为有理数, 这与(1)证得结果相矛盾。所以当a不为0时, b也不为0
(4) 用反证法证明本题:
设 a不为0, 由于 9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0,
有: 9^(1/3) a + 3^(1/3) b ............(式1) 为有理数
对之平方: 3 * 3^(1/3) * a^2 + 9^(1/3) * b^2 + 2*3*ab 为有理数
有: 9^(1/3) b^2 + 3^(1/3) * 3 a^2..........(式2) 为有理数
由于a不为0, (式1)* b^2/a - (式2) 为有理数
即: 3^(1/3) * (b^3 - 3 a^3) / a 为有理数,
因3^(1/3)为无理数,所以只能有 b^3 - 3 a^3 = 0 ,
或 (b/a)^3 =3, 然而 这就是说 3^(1/3) 是有理数b/a, 造成矛盾。
所以, a不为0时,不会有 9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0 成立。
(5) 综合前述各点, 方程 9^(1/3) a + 3^(1/3) b + c =0 的有理数解只有a=b=c=0
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