某人去拜访有两个孩子的一对夫妇，当场看到有一个男孩，求另一个孩子是女孩的概率

Ysu2008

陆老师计算的是“两个孩子是一男一女”的概率。任何一个孩子是女孩的概率由性别出生率决定，这是“物质运动固有属性”，这是客观概率，是不会变的。

（一）已知某夫妇有两个孩子，在没有额外信息时，猜测两个孩子的性别（主观概率）。
假设男女出生率都等于1/2，则两个孩子是两个男孩的概率为 1/4 ，两个女孩的概率为 1/4 ，一男一女的概率为 1/2 .

（二）接上题，当被告知有一个男孩时，这是新信息，将更新我们对两个孩子性别的主观概率。

设 B1 为事件“两孩子一男一女”，B2为事件“两个都是男孩”，B3为“两个都是女孩”，A为事件“被告知有一个男孩”。
没有额外信息时的概率：
P(B1)=1/2 , P(B2)=1/4，P(B3)=1/4 ;
P(A|B1)=1 , 有男孩，A必发生；
P(A|B2)=1，有男孩，A必发生；
P(A|B3)=0 , 两个女孩，A必不发生；

“被告知有一个男孩”时，由贝叶斯公式：
P(B1|A) = P(B1)P(A|B1) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = (1/2) / (1/2 + 1/4 + 0) = 2/3
P(B2|A) = P(B2)P(A|B2) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = (1/4) / (1/2 + 1/4 + 0) = 1/3
P(B3|A) = P(B3)P(A|B3) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = 0 / (1/2 + 1/4 + 0) = 0

“被告知有一个男孩”时，对“两个孩子是一男一女”的信念更新为 2/3 ，对“两个都是男孩”的信念更新为 1/3 .

（三）接题一，登门拜访时，恰碰到一个男孩，这也将更新我们对两个孩子性别的主观概率。

设 B1 为事件“两孩子一男一女”，B2为事件“两个都是男孩”，B3为“两个都是女孩”，A为事件“碰到一个男孩”。
没有额外信息时的概率：
P(B1)=1/2  ,P(B2)=1/4， P(B3)=1/4；
P(A|B1) = 1/2 , 一男一女，碰见孩子是男孩的概率为 1/2 ；
P(A|B2) = 1，两个男孩，碰见孩子必为男孩；
P(A|B3) = 0 , 两个女孩，碰见孩子必不是男孩；

“碰到一个男孩”时，由贝叶斯公式：
P(B1|A) = P(B1)P(A|B1) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = (1/4) / (1/4 + 1/4 + 0) = 1/2
P(B2|A) = P(B2)P(A|B2) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = (1/4) / (1/4 + 1/4 + 0) = 1/2
P(B3|A) = P(B3)P(A|B3) / [P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)] = 0 / (1/4 + 1/4 + 0) = 0

“碰到一个男孩”时，我们对“两个孩子是一男一女”的主观信念保持不变，对“两个都是男孩”的信念更新为 1/2 .

根据以上分析，自始自终改变的都只是我们对两个孩子性别情况的主观猜测。单对某一个孩子来说，他/她作为男性或女性的概率仅由性别出生率这一客观概率决定。人类生小孩大致如同n重伯努利试验。

luyuanhong

wintex 发表于 2019-6-13 21:27
陸老師，如果改問家裡是一男一女的機率，答案是否和你上述情況兩種狀況一樣，謝謝。

一样。

Ysu2008

这题问的就是一男一女的概率，没问别的，我想多了。
原题如果叙述为：已知某夫妇有俩小孩，有一个是男孩，求俩孩子是一男一女的概率。估计就没这么坑了。
出题人耍了一个花招，把“一男一女”隐藏在叙述中，他这考的是阅读理解，满满的套路。