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无尽小数的等价定义.

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发表于 2019-6-15 07:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2019-6-15 09:01 编辑

首先,数是独立于其表示的。数是数系的元素,数系是对某些代数运算封闭, 满足某些代数公理的集合。
所以,数的概念以集合论为基础。那些反对实无穷集合的人,根本无法建立数的理论。例如通常所称的数论的论域是整数集。而整数集不是什么尚需扩充的东西。它包括所有整数。那种否定实无穷集合的存在性的人,是吧他主观感受到的东西取代他面对的无穷。他的感觉总是有限的,尚待扩充的,于是他断言无穷就是不断扩充的有穷。不过这么一来,他就不再能够作任何普遍的数学论断。因为普遍到包罗整个无穷论域的断言都没有意义:不存在无穷论域。

既然我们需要实无穷,而无穷集的元素显然不是人们能够逐一枚举完毕的。所以我们需要一条集合论公理:【无穷公理】这条公理是说,归纳集存在。归纳集是指这样的集合:空集 0 是其元素,且若集合 E 是其元素,那么 E ∪ {E} 也是其元素。集合论中又有一条定理:任何一族集合的交集是集合。于是全体归纳集的交集是集合 N= {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}},. ...}, 假定 E ∈ N 记作 n, 则  E ∪ {E} 称为 n 的后继, 记作 n' = n+1.  容易知道,0‘ = 0+1 = 1, n'+m = (n+m)' = (n+m) +1, 0*1 = 0, m'n = mn+n 定义了 N 中的加法乘法. 并且N 满足皮亚诺自然数公理。这就构造了自然数模。自然数模是对加法和乘法封闭的数系,0,1 依次是加法,乘法的幺元。加、乘法满足交换律,结合律,乘法对于加法满足分配律 x(y+z) = xy+xz. 并且任意两个满足皮亚诺公理的代数系统 N, N* 是同构的(存在一一对应 φ:N→ N* 使得 φ(x+y) = φ(x)⊕φ(y),  φ(xy)=φ(x)×φ(y). 因而在同构的意义上, 自然数系是唯一的。

现在我们来看看在数学中什么叫构造。构造就是从已知集合出发,通过集合的生成法则,集合运算以及对集合中元素的运算的定义,得到满足某种数系公理的模型。由此证明所论数系在代数同构的意义下的唯一存在。这里不涉及“逐一构造”,不涉及没完没了的修订增补,不涉及虚无缥缈,无谱可靠的潜无穷过程!

进一步,考虑一切自然数对的等价类 [m,n] = {(a,b): a, b∈N,  a+n = b+m}.  (容易证明 (a,b)~(c,d) 当且仅当 a+d=b+c 是自然数对全体中的等价关系)
定义 [a,b]+[c,d] = [a+c, b+d],  [a,b][c,d] = [ac+bd, ad+bc], 则所论等价类全体在这种加法乘法之下构成整数环Z= {[m,n], m,n ∈N}。加法幺元是 [m,m] = [0,0], 乘法幺元是[1,0] = [m+1,m].  [m,n] 的加法逆元是 [n,m]. 即 [n,m] = - [m,n] .    一一对应 I :N → Z,  I(n) = [n,0] 是 N 到 Z的嵌入. 于是整数环包含自然数模。

同理,在 Z×(Z-{0}} 中定义关系 (u,v) ~ (s,t) 当且仅当 u t = s v, 可证这是一个等价关系。记 (u,v) 所在的等价类是 <u,v>. 则 <u,v> + <s,t> = <ut+vs, vt>
<u,v><s,t> =<us,vt> 定义了等价类之间的加法和乘法,零元是 <0, 1>, 乘法单位元是 <1,1>., <u,v> 的加法逆元是 <-u,v>, 乘法逆元是 <v,u> (u ≠ 0). 规定 <u,v> > <0,1> 当且仅当uv > 0, < u, v> < <s, t>  当且仅当 <s, t> - <u,v> > <0,1>. 于是所论等价类全体在所论加法, 乘法及序关系下构成有序域. 叫做有理数域 Q. 它包含整数环 Z (又一次嵌入 z → <z,1>).


发表于 2019-6-15 07:43 | 显示全部楼层
不是 不存在无穷论域,而是需要知道无穷集合是什么 样的。就自然数集合来讲,它的元素个数 是无有穷尽、无有终了的,不能把它看作完成了的定数阿里夫0. 这样就消除了 它带来的连续统 假设的大难题。
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 楼主| 发表于 2019-6-15 08:01 | 显示全部楼层
从有理数构造实数的介绍见卢丁的【数学分析原理】.

实数域是满足最小上界性的阿基米德有序域.

现在来定义实数的十进制表示法.

设 n 是自然数, {a(n)} 是整数序列  (0 ≤ a(n) < 10, n = 1,2,...)
则  n.a(1)a(2)a(3)... 表示 区间套
{[c(n),d(n)]} =  {[n+a(1)/10+...+a(n)/10^n,   n+a(1)/10+...+a(n)/10^n+1/10^n] }
的交集所含的唯一实数。

这个定义有很多等价形式: n.a(1)a(2)... = lim (n+a(1)/10+a(2)/10^2+...+a(n)/10^n)
n.a(1)a(2)... = n+ ∑ a(n)/10^n 等等。

我们将进一步澄清有关十进制无尽小数的各种迷思。

点评

从源头开始,注意程序正义.第一,请给出 "无尽"的定义.必须证明为正确的定义. 第二,请给出 "数"的定义.必须证明为正确的定义.  发表于 2019-6-15 10:10
打住:第一,请给出 "无尽"的定义.必须证明为正确的定义. 第二,请给出 "数"的定义.必须证明为正确的定义.  发表于 2019-6-15 10:10
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发表于 2019-6-15 09:58 | 显示全部楼层
无尽小数的等价定义
===============
第一,请给出 "无尽"的定义.必须证明为正确的定义.
第二,请给出 "数"的定义.必须证明为正确的定义.
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发表于 2019-6-15 10:08 | 显示全部楼层
首先,数是独立于其表示的。数是数系的元素,数系是对某些代数运算封闭, 满足某些代数公理的集合。
============= 复制楼主的民科语言.

要你定义数,你数没定义,反用"数系"来定义数.你这是逻辑混乱.
数都没定义出来,"数系"这个概念还没出生.
你用你的去定义你父母吗?

你必须 先定义出数,且证明.
再用数概念才能得到"数系":
定义数,
数→ 定义数系.

想起你们这些民科真好笑,
让你定义 "科学",你就定义为:分科而学.
让你定义 "人",你就定义为:男人和女人.
让你定义 "数",你就定义为:数系的元素.
你就是巫神界的跳大神的混进数学界.

第一,请给出 "无尽"的定义.必须证明为正确的定义.
第二,请给出 "数"的定义.必须证明为正确的定义.
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 楼主| 发表于 2019-6-15 10:30 | 显示全部楼层
谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数系的定义来定义的.别无他法.

点评

你的数去定义不了,从哪来的数系.?  发表于 2019-6-15 14:14
你就是民科混`进数学界.你不能定义只能说明你傻.你别无他法是你无能.  发表于 2019-6-15 14:14
数的定义:所有有限元素,符号:a....p  发表于 2019-6-15 14:12
数学中数就是通过对数系的定义来定义的 =====无解!因为数是要定义的未知x,数系就是 f(x),得:f(x)=x  发表于 2019-6-15 14:10
不过数学中数就是通过对数系的定义来定义的.别无他法.====== 逻辑混乱!先定义数,再有数系.不能用数垂系去定义数.  发表于 2019-6-15 14:07
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 楼主| 发表于 2019-6-15 11:57 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 发表于 2019-6-14 16:43
不是 不存在无穷论域,而是需要知道无穷集合是什么 样的。就自然数集合来讲,它的元素个数 是无有穷尽、无 ...

告诉你无穷论域是怎么样的,但你随即问它是什么,朽木不可雕也.
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发表于 2019-6-15 14:17 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-6-15 02:30
谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数系 ...

谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数系的定义来定义的.别无他法.
===================
你就是民科混`进数学界.你不能定义只能说明你傻.你别无他法是你无能.

你的数不能定义,又从哪里 来的数系?
请定义数系!
你数系的定义 必先定义出数.

请定义出数系!
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发表于 2019-6-15 14:23 | 显示全部楼层
elim 发表于 2019-6-15 02:30
谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数系 ...

谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数系的定义来定义的.别无他法.
==============
我不学无术,你就会喊口号.

你用数系 来定义数.
请定义数系! 请!

用数系 定义数.==== 用未知定义未知.

你的数系 又怎样定义?
你用到了数系 这个概念,数系中的数 又怎样定义?
你玩 "乌龟叠乌龟叠乌龟叠,,,,"无穷法,你是印度阿三!
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 楼主| 发表于 2019-6-15 22:16 | 显示全部楼层
谢芝灵 发表于 2019-6-14 23:23
谢芝灵不学无术大家都了解.现在要说他的怪论是官科.这种胡扯咱就不必计较了.不过数学中数就是通过对数 ...

主贴的模,环,域都是数系,它们的定义在任何一本近世代数或者入门的初等代数都有.jzkyllcjl 读不懂书便自说自话,谢芝灵干脆不读书就有理了,哈哈.

构造数系就是构造一类数(例如自然数,整数,有理数,...).就是给出满足给定数系公理的数系实例(模型), 就是批量地构造数.不要忘了,数是个集合名词,是个类概念.例如实数就是一个类概念,而根号2,Pi 等等都是其个例,属于实数概念的外延.搞数学的不会傻到去定义0.999...,一定会去定义十进制曾至p进制无尽小数.这个道理谢芝邪灵有生之年恐怕无望弄懂了:程度还不如jzkyllcjl,  努力更是谈不上.

点评

要你定义数,你就不能用含数的名词去定义数。所以,不能用“数系”去定义“数”。因为你“数系”中的数你还没定义出来。用数系去定义数,就是用未知 去定义未知。  发表于 2019-6-16 07:59
你这数的定义是跳大神:X={x1,x2,x3,,,};Y={y1,y2,y3,....},X、Y叫数系,其中的元素叫数。用数系来定义数,用数来定义数系,。。。。。。你是无穷龟叠的阿三!  发表于 2019-6-16 07:46
你这叫定义数系吗? 你这叫定义数吗? 你这是:集合是数系,所以集合中的元素叫数。你这是巫神跳大神。  发表于 2019-6-16 07:40
你这叫定义数系吗? 你这叫定义数吗? 你这是:模、环、域都是数系,所以模、环、域中的元素叫数。你这是巫神跳大神。  发表于 2019-6-16 07:39
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