论相邻两个奇数平方之间的素数个数

tysh670407

论相邻两个奇数平方之间的素数个数
田永胜
吉兰泰  750333
自然数集合可以用两个相邻奇数平方为区间的并集来表示：[1]∪(1，9]∪(9，25]∪(25，49]∪((2x-3)^2，(2x-1)^2]∪[…，…] (x=1，2，3，…)。
下面，我们来研究两个相邻奇数平方之间的素数个数，即区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内的素数个数。
区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内的自然数个数为：
(2x-1)^2-(2x-3)^2=8x-8
由高斯素数定理可知，区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内素数的分布密度为区间最大数自然对数的倒数，即
1/ln（2x-1）^2
我们对30个区间内的实际素数个数与理论素数个数进行了对比，对比结果见表一。

表一  区间实际素数个数与理论素数个数对比表
从表一可以看出：在第2到第8区间，实际素数个数与理论素数个数非常吻合，其他区间内实际素数个数在理论素数个数左右波动，实际素数个数所占比例在理论素数分布密度左右波动，呈正态分布，即区间内的实际素数个数在函数  y=(8x-8)/ln(2x-1)^2  左右波动。
由此得出如下关于区间素数个数的结论：
设x为自然数，在区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内，素数的分布密度为
1/ln(2x-1)^2
区间内自然数的个数为  
(2x-1)^2-(2x-3)^2=8x-8
用y表示区间内的理论素数个数，则区间内素数个数是关于区间x的对数函数，即
y=( 8x-8)/ ln(2x-1)^2
若用Sn表示n个区间内理论素数的总和，则

推论1 在区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内，只有有限个素数，当x趋向无穷大时，区间素数也趋向无穷大，即

推论2 在区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内，至少有一对孪生素数。当x趋向无穷时，区间孪生素数也趋向无穷。
推论3 在区间((2x-3)^2，(2x-1)^2]内，区间((2x-3)^2，
4 x ^2-8 x +5］内的素数个数与区间(4 x ^2-8 x +5，(2x-1)^2]内的素数个数近似平均分布，孪生素数个数也近似平均分布。
推论4  当x趋向无穷大时，x个区间内的实际素数之和与x个区间内的理论素数之和的比值为1。

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后记
本文内容曾在2015年以《论给定区间素数的分布规律》为题目征求各位前辈同仁意见，近日回看不尽己意，通篇不像论文，更像是介绍，又重新作了一些修改，重新以《论相邻两个奇数平方之间的素数个数》发布，征求各位同仁意见，欢迎前辈同仁斧正，谢谢。

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欢迎大家把这一结果应用到自己的文章中。

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20021、30031、32741区间实际和理论素数对比表，最大数42.9亿。10个区间累计误差小于0.3%。