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楼主: denglongshan

请教e老师向量商

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发表于 2018-2-21 23:25 | 显示全部楼层
如果 AB, CD 不共面,就不會有点 H
 楼主| 发表于 2018-2-22 19:59 | 显示全部楼层
是的,这时候叫异面直线之间的夹角。
发表于 2018-2-22 23:46 | 显示全部楼层
这种问题无非是在研究空间图形对某个平面的投影性质。本质上还是平面几何问题。
 楼主| 发表于 2018-2-23 20:45 | 显示全部楼层
哦,这个不懂
发表于 2018-2-23 22:51 | 显示全部楼层
概念难度与异面夹角差不多。不着急,慢慢领会。
 楼主| 发表于 2018-2-24 21:33 | 显示全部楼层
好像叫射影几何?感觉按照立体几何与平面几何没有本质区别,想创建一套类似复数的理论,看来是不可能的?
发表于 2018-2-24 23:52 | 显示全部楼层
高维问题并不都能在低维空间解决。虽然有很多问题可以归结为低维几何。三维以上的空间不能与任何数域同构,这是定了性的。不是技术有待成熟,将来可以做到的事情。

几何问题的机器证明并不受限于上述事实。基本思路无非是几何代数化,也就是解析几何+数理逻辑。所以要过数学分析关,不能学 jzkyllcjl,思想混乱倒行逆施,结果自绝于数学社会。毫无建树。
 楼主| 发表于 2018-2-25 21:26 | 显示全部楼层
不知为何与曹老师相提并论?任何创新都要在现有理论的框架下,否则徒劳无益。但是民科的确不容易被主流接受,显然我的方法优于张景中院士和他的博士李涛,李涛也表示要合作,但至今没有下文。
一些三元数和三维复数的方法显然不能解决立体几何问题,而我的复数l理论已经形成系统,可以完全解决几何问题,而立体几何问题显然都是转化成平面几何,希望复数理论进一步发展。年轻时没有考取数学专业,现在不可能实现这一目标,期待有志之士完成。
     数学社会这种提法显然很牵强,因为社会有序运行是依靠权力等级。这一提法与全能近似差不多。
 楼主| 发表于 2018-2-25 21:54 | 显示全部楼层
中国科学院数学所曾经评价我的概念没有意义。
 楼主| 发表于 2018-2-25 22:24 | 显示全部楼层
十二年前人民教育出版社一位网友的反对意见,可惜没有完全看懂。下面节选重点内容

[原创]科普漫谈:什么是商?有可能定义向量商吗?
[这个贴子最后由后学未进在 2006/05/23 09:19pm 第 2 次编辑] 要回答这个问题首先要搞清楚什么叫商。大家上小学的时候就学到这么一句话:减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。为什么不先定义除法,把乘法定义为除法的逆运算?这里头有什么玄机?先来说说什么叫运算,现在大家都知道函数的概念了,从广义上讲,函数跟运算本质上是相同的,不过一般把某个集合S上的n元运算的定义成S的n重笛卡尔积S×S×……×S到S的函数,像实数的加法、乘法都属于二元运算,而平方、立方就是一元运算。大家学过函数都知道,一个函数是由定义域、值域和对应规则决定的,至于函数叫什么名字倒是无关紧要。定义了运算就可以研究它们的性质,如交换律,结合律,两种运算之间的规律如分配律等等。大家都喜欢研究有“好”性质的东西,但是一般而言逆运算是没办法保持原有运算的性质的,比如说众所周知的,也是小学低年级同学常犯错误的地方:减法、除法不满足交换律,结合律,因此选择减法或者除法作为出发点不说是愚蠢的,至少也是有点糊涂。减法的定义与数系的扩张:如果a+b=c,那么我们就说b=c-a,这就定义了减法。很显然,要让这个减法有确定的含义必须保证对任意的a和c,方程a+x=c都要有唯一解。要是“加法”的作用对象集合选得不合适,有可能方程无解,这时候就需要做一些调整,把对象集合扩大,保持老元素的运算不变,“自然地”补充定义新元素的运算。举个例子,取S为自然数集,“加法”就是普通的加法,很显然,如果限制在自然数范围内,并不总是可以作减法的,怎么样扩充才能使减法总是有意义呢?有人说了,很简单,引进负数嘛!可是什么是负数呢?问问自己,能不能说出比较严格的定义?这事并不是看起来的那么简单。这里是一种比较一般的方法,对任意自然数a、b,定义一种新的“数”x=(a,b),把它作为x=a-b的一种隐性表达。但是这个定义有一个问题:代表自然数的那些“数”——即a>b的那些(a,b)——和原来的自然数间不是一一对应,比如说(1,0)和(2,1)都对应于1,这将给进一步的定义带来麻烦,怎么办?很简单,把对应于同一个“真正的数”的(a,b)放在一起就可以了,于是有了新的“数”的定义:={(c,d)|c,d是自然数,且a+d=b+c},然后把加法定义为:+=,注意,这里必须保证定义与代表元选取无关,英文叫well-defined,就是说,如果=,=,则=(容易验证确实成立),否则加法就定义不起来。在这种定义下减法就没有问题了,同时也可以扩充定义这种数的乘法:*=。上面的定义看起来有点不太自然,但却是整数的一种严格的构造方法,无需借助直观来了解负数。作为练习,大家可以试一下把非零整数集上的乘法扩充一下,方法是完全相同的,将自然地得到有理数及其加法、乘法运算。上面的例子说明,要得到除法,必须先有一个“好”的乘法,单独谈除法或者商是没有任何意义的。那么到底能不能找到一个“好”的向量乘法,使得我们可以定义向量的商呢?为了回答这个问题,先考察一下已知的两种向量积:内积和外积,这两种积对应的方程A*X=r或者A×X=B的解都不唯一,后一个方程还不一定总有解——A、B不互相垂直时就无解,内积的结果是实数,更不行。都不符合要求。难道就没有办法了吗?当然不是,事实上有很多种方法可以定义“好”的向量乘法,比较有名的就是Banach代数。什么是Banach代数?听起来很神秘的样子,其实并不复杂,以大家现在的知识,可以作一个比较狭义的定义(注意,数学上的定义比这个要广泛得多):在欧式空间上定义一种“乘法”×,满足 1. 结合律:(V1×V2)×V3=V1×(V2×V3); 2. 线性性和左右分配率:(aV1+bV2)×V3=a(V1×V3)+b(V2×V3),V1×(aV2+bV3)=a(V1×V2)+b(V1×V3),这里a,b是实数; 3. 连续性:|V1×V2|≤|V1|*|V2|,这里|V|表示向量V的长度。这个带有乘法的空间就叫Banach代数。第三条现在很难一两句话说清楚它的必要性,以后学多了会明白的。除此之外头两条可以说是能够把一种运算称为乘法最基本的要求——注意这里不要求交换律。Banach代数里是有可能定义出除法的,当然,并不保证就一定能定义除法,不要搞混了。如果Banach代数对乘法而言存在一个单位向量E,扮演实数乘法里“1”的角色,即对任何向量V有E×V=V×E=V,|E|=1,这种E通常叫做单位元,显然,单位元最多只有一个。有一个有趣的命题:有单位元的二维欧式空间上的Banach代数本质上只有一种,就是说可以找到一个直角坐标系,把向量写成坐标(a,b)后乘法是(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc),眼尖的同学可能已经看出来了,没错,就是复数的乘法,(a,b)对应a+bi。有兴趣不妨自己证明,初中的知识足够了。这样就自然地把实数(等价意义上唯一地)扩充到复数。这种乘法可以定义它的逆运算,叫二维向量除法也没什么问题,不过这种乘法跟一般说的向量内积、外积、混合积就没什么关系了。有单位元的二维欧式空间上的Banach代数一定跟复数等价,有没有可能把复数进一步扩充呢?复数有两个基本单位:1和i,1是单位元,i*i=-1,因此可以把复数称为二元数,能不能再添一个单位j,变成三元数?如果想满足上面的头两条,答案就是不可能。证明如下:i*j一定是个三元数:i*j=a+bi+cj,a,b,c都是实数。从而-j=(i*i)*j=i*(i*j)=i*(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj)=(ac-b)+(a+bc)i+c^2j,但是1,i,j是三个独立的向量,因此必须有ac-b=0,a+bc=0,c^2=-1,而c是实数,矛盾。但是跳一步扩充到四元数就有可能。这时候有四个单位1,i,j,k,i^2=j^2=k^2=-1,i*j=-j*i=k,根据这些可以推导出i*k、k*i和j*k、k*j来,比如说,i*k=i*(i*j)=(i*i)*j=-j。四元数乘法不满足交换率,但是可以定义除法,显然这时候有两种除法,左除和右除,a*x=b的解是x=a\b——左除,y*a=b的解是y=b/a——右除,a\b不等于b/a。不过对于不交换的乘法,一般也就不提什么除法了。

[原创]科普漫谈:什么是商?有可能定义向量商吗?
[这个贴子最后由后学未进在 2006/05/23 09:19pm 第 2 次编辑] 要回答这个问题首先要搞清楚什么叫商。大家上小学的时候就学到这么一句话:减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。为什么不先定义除法,把乘法定义为除法的逆运算?这里头有什么玄机?先来说说什么叫运算,现在大家都知道函数的概念了,从广义上讲,函数跟运算本质上是相同的,不过一般把某个集合S上的n元运算的定义成S的n重笛卡尔积S×S×……×S到S的函数,像实数的加法、乘法都属于二元运算,而平方、立方就是一元运算。大家学过函数都知道,一个函数是由定义域、值域和对应规则决定的,至于函数叫什么名字倒是无关紧要。定义了运算就可以研究它们的性质,如交换律,结合律,两种运算之间的规律如分配律等等。大家都喜欢研究有“好”性质的东西,但是一般而言逆运算是没办法保持原有运算的性质的,比如说众所周知的,也是小学低年级同学常犯错误的地方:减法、除法不满足交换律,结合律,因此选择减法或者除法作为出发点不说是愚蠢的,至少也是有点糊涂。减法的定义与数系的扩张:如果a+b=c,那么我们就说b=c-a,这就定义了减法。很显然,要让这个减法有确定的含义必须保证对任意的a和c,方程a+x=c都要有唯一解。要是“加法”的作用对象集合选得不合适,有可能方程无解,这时候就需要做一些调整,把对象集合扩大,保持老元素的运算不变,“自然地”补充定义新元素的运算。举个例子,取S为自然数集,“加法”就是普通的加法,很显然,如果限制在自然数范围内,并不总是可以作减法的,怎么样扩充才能使减法总是有意义呢?有人说了,很简单,引进负数嘛!可是什么是负数呢?问问自己,能不能说出比较严格的定义?这事并不是看起来的那么简单。这里是一种比较一般的方法,对任意自然数a、b,定义一种新的“数”x=(a,b),把它作为x=a-b的一种隐性表达。但是这个定义有一个问题:代表自然数的那些“数”——即a>b的那些(a,b)——和原来的自然数间不是一一对应,比如说(1,0)和(2,1)都对应于1,这将给进一步的定义带来麻烦,怎么办?很简单,把对应于同一个“真正的数”的(a,b)放在一起就可以了,于是有了新的“数”的定义:={(c,d)|c,d是自然数,且a+d=b+c},然后把加法定义为:+=,注意,这里必须保证定义与代表元选取无关,英文叫well-defined,就是说,如果=,=,则=(容易验证确实成立),否则加法就定义不起来。在这种定义下减法就没有问题了,同时也可以扩充定义这种数的乘法:*=。上面的定义看起来有点不太自然,但却是整数的一种严格的构造方法,无需借助直观来了解负数。作为练习,大家可以试一下把非零整数集上的乘法扩充一下,方法是完全相同的,将自然地得到有理数及其加法、乘法运算。上面的例子说明,要得到除法,必须先有一个“好”的乘法,单独谈除法或者商是没有任何意义的。那么到底能不能找到一个“好”的向量乘法,使得我们可以定义向量的商呢?为了回答这个问题,先考察一下已知的两种向量积:内积和外积,这两种积对应的方程A*X=r或者A×X=B的解都不唯一,后一个方程还不一定总有解——A、B不互相垂直时就无解,内积的结果是实数,更不行。都不符合要求。难道就没有办法了吗?当然不是,事实上有很多种方法可以定义“好”的向量乘法,比较有名的就是Banach代数。什么是Banach代数?听起来很神秘的样子,其实并不复杂,以大家现在的知识,可以作一个比较狭义的定义(注意,数学上的定义比这个要广泛得多):在欧式空间上定义一种“乘法”×,满足 1. 结合律:(V1×V2)×V3=V1×(V2×V3); 2. 线性性和左右分配率:(aV1+bV2)×V3=a(V1×V3)+b(V2×V3),V1×(aV2+bV3)=a(V1×V2)+b(V1×V3),这里a,b是实数; 3. 连续性:|V1×V2|≤|V1|*|V2|,这里|V|表示向量V的长度。这个带有乘法的空间就叫Banach代数。第三条现在很难一两句话说清楚它的必要性,以后学多了会明白的。除此之外头两条可以说是能够把一种运算称为乘法最基本的要求——注意这里不要求交换律。Banach代数里是有可能定义出除法的,当然,并不保证就一定能定义除法,不要搞混了。如果Banach代数对乘法而言存在一个单位向量E,扮演实数乘法里“1”的角色,即对任何向量V有E×V=V×E=V,|E|=1,这种E通常叫做单位元,显然,单位元最多只有一个。有一个有趣的命题:有单位元的二维欧式空间上的Banach代数本质上只有一种,就是说可以找到一个直角坐标系,把向量写成坐标(a,b)后乘法是(a,b)×(c,d)=(ac-bd,ad+bc),眼尖的同学可能已经看出来了,没错,就是复数的乘法,(a,b)对应a+bi。有兴趣不妨自己证明,初中的知识足够了。这样就自然地把实数(等价意义上唯一地)扩充到复数。这种乘法可以定义它的逆运算,叫二维向量除法也没什么问题,不过这种乘法跟一般说的向量内积、外积、混合积就没什么关系了。有单位元的二维欧式空间上的Banach代数一定跟复数等价,有没有可能把复数进一步扩充呢?复数有两个基本单位:1和i,1是单位元,i*i=-1,因此可以把复数称为二元数,能不能再添一个单位j,变成三元数?如果想满足上面的头两条,答案就是不可能。证明如下:i*j一定是个三元数:i*j=a+bi+cj,a,b,c都是实数。从而-j=(i*i)*j=i*(i*j)=i*(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj)=(ac-b)+(a+bc)i+c^2j,但是1,i,j是三个独立的向量,因此必须有ac-b=0,a+bc=0,c^2=-1,而c是实数,矛盾。但是跳一步扩充到四元数就有可能。这时候有四个单位1,i,j,k,i^2=j^2=k^2=-1,i*j=-j*i=k,根据这些可以推导出i*k、k*i和j*k、k*j来,比如说,i*k=i*(i*j)=(i*i)*j=-j。四元数乘法不满足交换率,但是可以定义除法,显然这时候有两种除法,左除和右除,a*x=b的解是x=a\b——左除,y*a=b的解是y=b/a——右除,a\b不等于b/a。不过对于不交换的乘法,一般也就不提什么除法了。
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