以颠倒次数的多少对构形分类是错误的

雷明85639720

以颠倒次数的多少对构形分类是错误的
雷  明
（二○一八年元月三十日）

我们在研究张彧典先生的九构形时，特别是在研究各构形的顺时针颠倒时，发现每一个构形的图，从两个方向进行颠倒时都能解决问题，那么，这两个方向颠倒次数的总和是不是都会不大于某一个特定的数呢。带着这一问题我们对张先生的九构形和其他别的多个构形都进行了研究。
1、5—轮构形正反两个方向颠倒次数的总和
这里的正反两个方向，就是指逆时针和顺时针两个方向。下面我们先把图一个个的画出。由于我们已经作过了工作，所以也就不对每一个图都进行两个方向的颠倒了，只把原图画出（若有爱好者想了解，可以自已画一画）。然后，我们一起把各图正向颠倒次数及反向颠倒次数再进行统计，求其总和，并列成表格进行比较。















各图在颠倒中，一定可在某次颠倒后，会变成一个可以同时移去两个同色的构形；再进行一次颠倒后，就出现了经过五边形三个顶点和待着色顶点的环（即张先生所说的“新生成的×—×环”）；在该环内、外任交换与该环是相反链的色链，就可以从五边形的顶点中空出一种颜色给待着色顶点；由于图中的顶点可能很多，有可能看不出是否产生了经过五边形三个顶点和待着色顶点的环（即张先生所说的“新生成的×—×环”），则可以继续颠倒，这时，得到的一定是一个构形峰点的位置及颜色都未改变、而只是两个同色的颜色变化了的、与以前都不同的“双×夹×型”的5—轮构形。因为这种变化只反映在五边形的五个顶点上，所以容易发现。这时，就可认为上一次的颠倒之后，颠倒就已经结束，在该次颠倒的基础上，再进行一交空出颜色的交换，一定可以空出颜色来给待着色顶点着上。
把以上各图的颠倒次数进行统计如下表。
序号图号  变成可移   新生成经    峰点不变    最后空出   备     注
            去两个同色 过5—轮3个  而两个同    颜色给待
              的K构形    顶点的环    色在变化    着色顶点
             逆  顺  合  逆  顺  合   逆   顺  合  逆         顺  合       
1     1     0           2        2   1         3    4    2          4        6   2         4    6        无环链
2     2     1           1        2   2         2    4    3          3        6   3         3    6        A—B环
3     3     2           0        2   3         1    4    4          2        6   4         2    6        无环形
4     4     3           0        3   4         1    5    5          2        7   5         2    7        无环链
5     5     4           0        4   5         1    6    6          2        8   6         2    8        无环链
6     6     5           0        5   6         1    7    7          2        9   7         2    9        无环链
7     7     6           0        6   7         1    8    8          2   10   8         2   10        无环链
8     8     7           0        7   8         2    9    9          3   12   9         3   12        无环链
9     9     0           0        0   1         1    2    2    2        4   2         2    4        A—B环
10  10     0           0        0   1         1    2    2          2        4   2         2    4        对称链
11  11     2           2        4   3         3    6    4          4        8   4         4    8        A—B环
12  12     1           1        2   2         2    4    3          3        6   3         3    6        C—D环
13  13     1           2        3   2         3    5    3          4        7   3         4    7        无环形
14  14     2           1        3   3         2    5    4          3        7   4         3    7        无环链
15  15     1           2        3   2         3    5    3          4        7   3         4    7        无环链
16  16     2           1        3   3         2    5    4          3        7   4         3    7        无环链
17  17     4           4        8   5         5   10    6          6   12   6         6   12        无环链
18  18     7           0        7   8         1    9    9          2   11   9         2   11        无环链
19  19     7           0        7   8         1    9    9          2   11   9         2   11        无环链
20  20     7           0        7   8         1    9    9          2   11   9         2   11        无环链
21  21     1           1        2   2         2    4    3          3        6   3         3    6        对称链
22  22     3           1        4   4         2    6    5          3        8   5         3    8        无环链
23  23    ∞          ∞        ∞  ∞         ∞   ∞   ∞         ∞    ∞  ∞         ∞   ∞        A—B环
24  24    ∞          ∞        ∞  ∞         ∞   ∞   ∞         ∞    ∞  ∞         ∞   ∞        A—B环

2、图的颠倒次数是没有上界的
我只所以要研究图（构形）的两个不同方向的颠倒次数的和，主要是为了研究图的最多颠倒次数。因为一个图是可以从不同的两个方向进行颠倒的，都是可以得到可以同时移去两个同色的K—构形的。两个方向颠倒次数的和再加上1，就是一个图从最开始的可以同时移去两个同色的构形（由于张先生把这种构形（如张先生的第一构形就是一个可同时移去两个同色B的构形）已划归为H—构形，所以我也就只得从这种构形开始）而不移去两个同色时，颠倒到成为另一个可以同时移去两个同色的构形时的颠倒次数，加1就是指最后生成新的经过五边形三个顶点和待着色顶点的×—×环的一次颠倒（然后再交换一次即可空出颜色来）。研究的结果是，这个颠倒次数的总和不但不是定值，而且是没有上界的。我们只研究到了颠倒次数之和是八次，需要九次颠倒才能得到经过五边形三个顶点和待着色顶点的×—×环，比张先生的最大需要颠倒八次只是多了一次颠倒的。为什么说这个颠倒次数的和（或者说就是颠倒次数）没有上界呢，因为还有一个图（敢峰—米勒图）的颠倒次数是无穷大的。其他的图的颠倒次数虽然可以是任意大的（即没有上界），但再大也总是有颠倒结束之时，所以其颠倒次数也总是有一个具体的数；而敢峰—米勒图却是永远也颠倒不完的，其颠倒次数却是不可能用一个具体的数表达出来的。这就是无穷大与任意大的区别。任意大再大也是一个具体的数，而无穷大却无法用一个具体的任意大的数来表达。看来，张先生认为的任何图最多只需要颠倒八次就可以解决问题的结论是不能成立的。
3、以颠倒次数的多少对构形进行分类是错误的
既然图的颠倒次数是没有上界的（何况还有一个图的颠倒次数是无穷的），如果地用颠倒次数对构形进行分类，那也就只能分成无数类，没有任何意义，与图有无穷多个是相应的。而且我们在研究图的两个方向的颠倒次数的和时，已经看到同一个图从不同的方向进行颠倒到解决问题时的颠倒次数是不同的，那么这个图就难以归类，该如何去归类呢。当然了，也不可能再规定只能从某一个方向进行颠倒去进行分类。即就是可以这样规定，对于任意的图来说，颠倒次数也是没有上界的，还不如不规定。另外，从以上我们的研究中还可以看出，不但有把图的结构基本相同的图划为不同的类别（如张先生的第一构形，第三构形，第四构形，第五构形，第六构形，第七构形，结构基本相同却划分成了六类），也有把结构截然不同的图划为同一类的情况（如张先生的第二构形和第八构形，张先生在用顺时针颠倒时，就把它们划在了一类；但他在用逆时针颠倒时，就又划分为不同的两类），很难掌握，也不科学。所以说，还是应以图的结构不同进行分类。把结构相同的图划归为一类构形，因为他们有相同的解决方法；把结构不同的图划归为不同的类别，因为它他的解决方法是不同的。这就是“图的结构不同，解决的方法相应不同”的分类原则。
4、我们对平面图的H—构形的分类
对于BAB型的5—轮构形来说，经过两条连通链A—C和A—D的共同起始顶点2A（五边形的上顶点）和两链相交叉的顶点8A，以及五边形的两个底角顶点5C和4D的中点的连线，就是BAB型5—轮构形的对称轴。我们用“图的结构不同，解决的方法相应不同”的分类原则，把平面图的H—构形分为三类： a类H—构形是有经过2A或8A的对称的A—B环形链，解决时，至少可以交换经过五边形5C和4D的C—D链，图就变成了K—构形而可约；b类H—构形是有经过5C和4D的C—D环形链（其一定也是对称的），解决时，至少可以交换经过五边形2A的A—B链，或者交换经过两连通链A—C和A—D的交叉顶点8A的A—B链，都可以使图变成K—构形而可约；c类H—构形，其中非对称的c类H—构形，A—B链和C—D链都不对称，解决时，可以交换任一条关于B的链，使图转化为DCD（或CDC）型构形，使图变成可以同时移去两个同色D（或C）的K—构形，或者使图变成有对称的环形链A—B的b类H—构形，这两种构形都是可约的；而对于对称的c类H—构形，A—B链和C—D链都是对称的，解决时，进行两次颠倒后，可使图转化成非对称的c类H—构形，也就成了可约的构形。除了以上几类构形外，平面图的H—构形就再没有别的类型了，这几类构形也已证明都是可约的，所以也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一八年元月三十日于长安

    注：此文已于二○一八年二月四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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