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如何评价坎泊和赫渥特的贡献

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发表于 2018-2-13 12:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

如何评价坎泊和赫渥特的贡献
雷  明
(二○一八年二月十二日)

1、我对坎泊对四色猜测证明的看法:
我认为坎泊1879年提出的“构形”概念和地图中只有一国与两国相邻,一国与三国相邻,一国与四国相邻,以及一国与五国相邻的四种不可免的构形,都是正确的。现在我们对四色猜测的证明,也都是在这一理论的基础上进行的。坎泊所创造的颜色交换技术也是正确的。
但是,坎泊在证明四色猜测的过程中,没有看到一个国家与五个国家相邻的构形(即5—轮构形)中,还存在连通的A—C链和A—D链除了有共同的起始顶点2A外,中途还有交叉顶点8A这一情况。他也只看到了他的颜色交换技术从五边形的顶点进行交换有可以空出颜色的作用,而没有看到从非五边形的顶点进行交换还有其他的作用(如断链和转型的作用)。这就是坎泊证明中的“漏洞”所在。所以他就在赫渥特1890年构造出了赫渥特地图后,他也就显得束手无策了。他当时如果能对赫渥特图进行4—着色,也就不会存在他承认自已“弄错了”的事了。四色猜测也不至于到现在还得不到证明。
现在我们已经知道坎泊的证明已经存在着这个漏洞的问题。如果能把这个“漏洞”补了起来,且能够使用坎泊创造的颜色交换技术,证明赫渥特图是能够4—着色的,并且能证明那些类似于赫渥特图不但存在着A—C和A—D两条连通链,且不能同时移去两个同色B的构形也是能够4—着色的。那么就应该说四色猜没也就得到了证明是正确的。四色问题也就得到了解决。
2、我对赫渥特构造的赫渥特(地)图的看法:
1890年,赫渥特构造的赫渥特地图正好就是坎泊所漏掉了的那种情况的一种构形,不但赫渥特不能对其中的待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一,就连坎泊也不能做到(坎泊如果能做到,也就不会承认他“弄错了”,我们也不会说他的证明有“漏洞”了)。
赫渥特和坎泊都只看到了他们交换了第二个关于B的链后,顶点6和7都有成了B色,而没有看到他们交换的第二条链对于五边形的对角来说是一条连通的色链。我们知道交换了连通的链是不可能空出颜色来的。这就是赫渥特和坎泊二位的疏忽所在。如果他们不只停留在顶点6和7都成了B色,而是继续交换下去,可能就会发现交换的是一条连通链。可惜他们这有这样做,而是只看到了顶点6和7都成了B色时就停止了。他们止住了脚步不要紧,更重要的是以后的研究者们也只看到了这一点,同样看不到他们交换的是一条连通链。直到1990年左右,雷明和懂德周二位爱好者才看到了这一点。并且都仍然是使用了坎泊的颜色交换技术,在赫渥特原着色的基础上对赫渥特图进行了4—着色。
雷明对赫渥特图进行4—着色,是看到了图中有一条经过五边形顶点4D和5C的环形的C—D链,它把A—B链分成了C—D环内、环外互不连通的两部分,交换任一部分C—D链,都可以使A—C和A—D链断开,使A—C 链和A—D链都成为可交换而能空出颜色的链,给赫渥特图的待着色顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
如何评价赫渥特图,过去有这样的说法:说赫渥特的图只是否定了坎泊的证明方法,并不是对四色猜测的否定。这种说法很不科学。既不是对四色猜测的否定,就应对该图拿出一个4—着色的方案来,但是在1990年以前的文献资料上,没有看到一个有关赫渥特图的可4—着色模式。更有甚者,还有人说赫渥特也是能对其进行4—着色的。那么,一千多年来,赫渥特的图能够保存至今,却为什么文献资料上没有一个图,能够说明赫渥特对其进行4—着色呢。说这样的话的人,不知道他们至今还能不能对赫渥特图进行4—着色,我还真的有怀凝。
既然赫渥特图是否定了坎泊的证明方法,那为什么赫渥特还要使用坎泊的颜色交换技术证明所谓的五色定理呢。坎泊的方法都出错了,你用它证明出五色定理那还能不错吗。这说明赫渥特图并没有否定坎泊用颜色交换技术的证明方法。
如何正确的评价赫渥特图呢,应该说该图只是指出了坎泊的证明中有“漏洞”,但他却并没有补上这个“漏洞”。因为赫渥特不但没有对该图进行4—着色,而且该赫渥特图只是反映了有A—C和A—D两条连通链的构形的一种情况。
3、我对各种类型的类赫渥特图型的构形的着色:
首先这里要说一声,赫渥特图中不但有连通的A—C链和A—D链,而且还是不能同时移去两个同色B的图。所以我们就把同时具备这两个条件的图才称为赫渥特构形(H—构形),而把不同时具备这两个条件的图都称为坎泊构形(K—构形)。
赫渥特图中有一条经过五边形4D和5C的环形的C—D链,任意交换C—D环内、环外的一条A—B链,都可以使A—C链和A—D链同时断开,使A—C链和A—D链都变成可交换和可空出颜色的链。第二种是图中有经过五边形1B—2A—3B或经过A—C和A—D两链的交叉顶点8A的环形的A—B链,任意交换A—B环内、环外的一条C—D链,也都可以使A—C链和A—D链同时断开,使A—C链和A—D链也都变成可交换和可空出颜色的链。敢峰—米勒图就是这种构形。
第三种是图中不存在以上的两种环形链的图,图中的这两种链都是直链,也不能交换,即就是交换了也是空不出颜色的。由A,B,C,D四种颜色所能构成的六种色链中,现在已有A—B链,A—C链,A—D链,C—D链四种链都是不能交换的。而B—C链和B—D链又不能同时交换,看来,现在只有交换一条关于B的链的可能了。
这种情况,从不同的两个B色顶点开始交换的结果是不同的。一是得到一个可以同时移去两个同色C或D的CDC型或DCD型的K—构形,另一是得到一个具有经过五边开形1B—2A或2A—3B两个顶点的A—B环形链的CDC型或DCD型的H—构形。这两种构形都是可约的。
还有一种方法,不是直接从B色顶点开始交换,而是从B色顶点对角的C色或D色顶点进行交换。这种交换与上面一样,也一是得到一个可以同时移去两个同色B的BDB型或BCB型的K—构形,另一是直接就可得到一个只有一条连通链C—A或D—A的BCB型或BDB型的K—构形,不再经过先转化为有A—B环形链的H—构形这一步了。
总之,这种情况的H—构形也是可约的。
我们在解决这第三种情况的H—构形的过程中,所使用的坎泊颜色交换技术的目的,是为了让构形的类型发生转化,也不是为了空出颜色,所以我们就把这种交换就叫做转型交换。
H—构形中的各种类型的构形,都是可约的,这就完全补上了坎泊证明中的“漏洞”。加上以前坎泊对K—构形可约性的证明,可以说坎泊所构造成的不可免构形集中的每一种构形都是可约的,四色猜测也就得到了证明是正确的。
4、我认为不能把赫渥特图叫做反例图:
现在,很多人把赫渥特图叫做反例图,请问,这个图是什么的反例呢。是坎泊的证明方法——颜色交换技术的反例图吧,但对其着色时仍然用的是坎泊的颜色交换技术,就连赫渥特证明他的所谓的“五色定理”时也是用的坎泊的颜色交换技术;如果说它是坎泊证明方法的反例,那么只要有了这一个反例就可以全部否定掉坎泊所证明过的一切K—构形的可约性,但坎泊所证明过的所有K—构形的可约性证明,一个也没有改变的还必须要用坎泊所创造的颜色交换技术才能得到证明;说它是四色猜测的反例图吧,它的却又是可4—着色的。有一些人虽然说赫渥特图是反例图,他们也承认赫渥特证明了的所谓的“五色定理”,却又不敢说赫渥特图是不可4—着色的,但他们却又真的不能给该图进行4—着色,可也不敢说赫渥特图着色非要五种颜色不可。这些人实在是可怜,没有一个主心骨。这也不敢,那也不敢。
既认为赫渥特图是反例图,但又说不出该图是那一方面的反例图。张彧典先生就是其中之一。张先生既能很好的对赫渥特图进行4—着色,但又还认为赫渥特图是一个反例图。不知道他认为赫渥特图到底是反了那门子的例呢。是否可以拿出来交换意见吗。

雷  明
二○一八年二月十二日于长安


注:此文已于二○一八年二月十三日在《中国博士网》上发表过,网址是:
 楼主| 发表于 2018-3-9 08:12 | 显示全部楼层
你们跑到我这里来干什么呢。
 楼主| 发表于 2018-3-29 16:57 | 显示全部楼层
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