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标题: 同余理论在算法优化中的魅力 [打印本页]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-20 21:25
标题: 同余理论在算法优化中的魅力
本帖最后由蔡家雄于 2026-5-20 12:04 编辑

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(2^0+2^0+2^1=2^2\)，

得：\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131k ,  0+a=137k ,  1+a=139k ,  2+a=149k ,
0+a=131*137k ,             1+a=139k ,  2+a=149k ,

故，a=219994326 ,

解：\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)

求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .

这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。

求 4/409=1/105+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*105)^2=409^2*3^2*5^2*7^2,

设 409 ≡ 2  (mod 11 ),

求 (2*3*5*7)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10  (mod 11 ),

t5: 10 ≡ 10 = 2 × 5  (mod 11 )
t1: 10 ≡ 21 = 3 × 7  (mod 11 )
t7: 10 ≡ 98 = 2 × 7^2  (mod 11 )
t3: 10 ≡ 175 = 5^2 × 7  (mod 11 )
t4: 10 ≡ 252 = 2^2 × 3^2 × 7  (mod 11 )
t8: 10 ≡ 450 = 2 × 3^2 × 5^2  (mod 11 )
t2: 10 ≡ 2100 = 2^2 × 3 × 5^2 × 7  (mod 11 )
t6: 10 ≡ 4410 = 2 × 3^2 × 5 × 7^2  (mod 11 )

以上式子中，把因子 2 改为 409，

就是求得 (409*105)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 10  (mod 11 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*105)^2,

则 x=102+3,  y=(w+t1)/(4*3 -1),  z=(w+t2)/(4*3 -1) .

求 4/409=1/104+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*104)^2=409^2*2^6*13^2,

设 409 ≡ 3  (mod 7 ),

求 (2*3*13)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ),

t3: 3 ≡ 3 =3  (mod 7 )
t7: 3 ≡ 24 =2^3*3  (mod 7 )
t1: 3 ≡ 52 =2^2*13  (mod 7 )
t9: 3 ≡ 192 =2^6*3  (mod 7 )
t6: 3 ≡ 416 =2^5*13  (mod 7 )
t5: 3 ≡ 234 =2*3^2*13  (mod 7 )
t10: 3 ≡ 507 =3*13^2  (mod 7 )
t2: 3 ≡ 1872 =2^4*3^2*13  (mod 7 )
t8: 3 ≡ 4056 =2^3*3*13^2  (mod 7 )
t4: 3 ≡ 32448 =2^6*3*13^2  (mod 7 )

以上式子中，把因子 3 改为 409，

就是求得 (409*104)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*104)^2,

则 x=102+2,  y=(w+t1)/(4*2 -1),  z=(w+t2)/(4*2 -1) .

设 120d+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

蔡氏增乘法质数：120d+49=769,  1129,  1609, 2689,  3769,  4129,  4969,  7369,  7489,  8329,  8929,  9049,  ......

设 d=(30k+11)m+26k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+11,  t2= (30d+16)^2/(30k+11),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+11)*(30m+26),

设 d=(15k+13)m+11k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+26,  t2= (30d+16)^2/(30k+26),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+26)*(15m+11),

设 e 是 (30d+16)^2 ≡ 11  (mod 15 ) 的互补因子对数，

设 g 是 (30d+16)^2 ≡ 14  (mod 15 ) 的互补因子对数，

设 120d+49 是蔡氏增乘法质数，

则 h=2*e+g 是求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的新 t 法的解数。

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-20 21:26
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(1^t+2^2+2^2=3^2\)，

得：\(2^a*3^b+2^{a+2}*3^b+2^{a+2}*3^b=2^a*3^{b+2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                b=131k ,
a+2=137k ,             b=137k ,
a+2=139k ,             b=139k ,
a=149k ,                b+2=149k ,
a=131*149k ,          b=131*137*139k ,
a+2=137*139k ,    b+2=149k ,

故，a=248320718 ,  b=361721785 ,

解：\((2^{1895578}*3^{2761235})^{131}+(2^{1812560}*3^{2640305})^{137}+(2^{1786480}*3^{2602315})^{139}=(2^{1666582}*3^{2427663})^{149}\)

用：\(1^r+1^t+5^2=3^3\)，

得：\(3^a*5^b+3^a*5^b+3^a*5^{b+2}=3^{a+3}*5^b\) ,

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
a=131k ,                b=131k ,
a=137k ,                b=137k ,
a=139k ,                b+2=139k ,
a+3=149k ,             b=149k ,
a=131*137*139k , b=131*137*149k ,
a+3=149k ,             b+2=139k ,

故，a=356732519 ,  b=88245399 ,

解：\((3^{2723149}*5^{673629})^{131}+(3^{2603887}*5^{644127})^{137}+(3^{2566421}*5^{634859})^{139}=(3^{2394178}*5^{592251})^{149}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-20 21:33
求勾股方程 \((x^{15})^2+(y^{8})^2=(z^{17})^2\)

由 \((2^{0}*3^{1}*5^{0})^2+(2^{2}*3^{0}*5^{0})^2=(2^{0}*3^{0}*5^{1})^2\)

得 \((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=15k ,    1+b=15k ,    0+c=15k ,
2+a=8k ,    0+b=8k ,    0+c=8k ,
0+a=17k ,    0+b=17k ,    1+c=17k ,
0+a=255k , 0+b=136k , 0+c=120k ,
2+a=8k ,    1+b=15k ,    1+c=17k ,

故，a=510 , b=1904 ,    c=1920 ,

解：\((2^{510}*3^{1905}*5^{1920})^2+(2^{512}*3^{1904}*5^{1920})^2=(2^{510}*3^{1904}*5^{1921})^2\)

即：\(((2^{34}*3^{127}*5^{128})^{15})^2+((2^{64}*3^{238}*5^{240})^{8})^2=((2^{30}*3^{112}*5^{113})^{17})^2\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-20 22:21
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(3^0+3^0+3^0=3^1\)，

得：\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131*137*139*k , 1+a=149*k ,

故，a=366711051 ,

解：\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 18:41
本帖最后由蔡家雄于 2024-2-25 11:41 编辑

鲁氏求一解法，不是大衍求一术

恒等式：\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式：\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求：\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解：\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求：\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解：\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解：\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解：\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\)，\(a > 1\) .

求：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 18:44
本帖最后由蔡家雄于 2024-2-25 13:32 编辑

最新发现，

若 2n+1, u , w 两两互质，

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-21 18:55
本帖最后由蔡家雄于 2024-2-25 13:34 编辑

由：49，5，24 两两互质，

求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k ,       1+b=49k ,       0+c=49k ,
2+a=5k ,       0+b=5k ,       0+c=5k ,
0+a=24k ,       0+b=24k ,       1+c=24k ,
0+a=1176k , 0+b=120k ,    0+c=245k ,
2+a=5k ,       1+b=49k ,       1+c=24k ,

故，a=3528 , b=2400 ,       c=4655 ,

解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-22 20:54
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，

得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]

作者: 蔡家雄 时间: 2024-2-24 13:48
求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，

但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，

用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，

用：\(15^2+20^2=5^4\) ，

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k ,       1+b=7k ,       1+c=7k ,
2+a=23k ,    0+b=23k ,       1+c=23k ,
0+a=26k ,    0+b=26k ,       4+c=26k ,
0+a=182k ,    0+b=598k ,    1+c=161k ,
2+a=23k ,    1+b=7k ,       4+c=26k ,

故，a=182 ,    b=1196 ，    c=2414 ,

解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)

作者: lusishun 时间: 2024-2-25 05:50
不是多解，而是无穷多组解。

作者: lusishun 时间: 2024-2-25 06:11
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-24 22:15 编辑

设131·137·149k=n，
139m=n+1，
则
X=(a^n-3)^(137·149k）
y=(a^n-3)^(131·149k），
z=（a^n-3)^m,
U=[a(a^n-3)^(131·137k）.
（a为大于1的整数）

k，m是不定方程131·137·149k+1=139m的最小的一组解。

作者: lusishun 时间: 2024-2-25 08:02

lusishun 发表于 2024-2-24 22:11
设131·137·149k=n，
139m=n+1，
则

推导出上述解，应用到将于20240314公布的公式，不好理解。网友见谅。

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-11 20:34
把 2025 表为 m 个连续的质数之和，求：最小的 m = ?

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-12 18:49
把 a^2 的数字逆写，得到另一个平方数 b^2 , 这样的解是有限？还是无限？

例：121——121，144——441，169——961，441——144，484——484，

676——676，961——169，1089——9801，

作者: 王守恩 时间: 2025-2-16 08:07
我是 DeepSeek，很高兴见到你！

我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧~

把 a^2 的数字逆写，得到另一个平方数 b^2 , 这样的解是有限？还是无限？

例：121——121，144——441，169——961，441——144，484——484，676——676，961——169，1089——9801，

1. 理解问题

首先，我们需要明确问题的含义。给定一个平方数 a^2a2，将其数字逆序排列后得到另一个数 b^2b 2 ，即 b^2b 2是 a^2a2的数字逆序。

我们的目标是确定这样的 aa 和 bb 是否存在无限多个解，或者只有有限个解。

2. 分析已知的例子

让我们先看看已知的例子：

11^2 = 12111 2=121 → 逆序后还是 121，即 11^2 = 121112=121

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

21^2 = 441212=441 → 逆序后是 144，即 12^2 = 144122=144

22^2 = 484222=484 → 逆序后还是 484，即 22^2 = 484222=484

26^2 = 67626 2=676 → 逆序后还是 676，即 26^2 = 676262=676

31^2 = 961312=961 → 逆序后是 169，即 13^2 = 169132=169

33^2 = 1089332=1089 → 逆序后是 9801，即 99^2 = 9801992=9801

这些例子表明，确实存在一些平方数，其数字逆序后仍然是平方数。

3. 寻找规律

为了确定是否存在无限多个这样的解，我们需要寻找其中的规律或模式。我们可以从以下几个方面入手：

数字长度：平方数的位数是否影响结果？

回文数：如果平方数本身是回文数（即正读反读都一样），那么逆序后仍然是它本身。

非回文数：对于非回文数的平方数，逆序后是否仍然是平方数？

4. 回文数的平方

首先，考虑回文数的平方。回文数的平方仍然是回文数，例如：

11^2 = 121112=121

22^2 = 484222=484

26^2 = 676262=676

这些例子表明，回文数的平方在逆序后仍然是平方数，因为它们本身就是回文数。

5. 非回文数的平方

接下来，考虑非回文数的平方。例如：

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

21^2 = 441212=441 → 逆序后是 144，即 12^2 = 144122=144

31^2 = 961312=961 → 逆序后是 169，即 13^2 = 169132=169

33^2 = 1089332=1089 → 逆序后是 9801，即 99^2 = 9801992=9801

这些例子表明，非回文数的平方在逆序后也可能是平方数。

6. 探索更大的数

为了确定是否存在无限多个解，我们需要尝试更大的数。让我们尝试一些更大的平方数：

102^2 = 104041022=10404 → 逆序后是 40401，检查 \sqrt{40401}40401是否为整数。

201^2 = 404012012=40401，所以 102^2 = 104041022=10404 逆序后是 201^2 = 404012012=40401

112^2 = 12544112=12544 → 逆序后是 44521，检查 \sqrt{44521}44521是否为整数。

211^2 = 445212112=44521，所以 112^2 = 125441122=12544 逆序后是 211^2 = 445212112=44521

122^2 = 148841222=14884 → 逆序后是 48841，检查 \sqrt{48841}48841是否为整数。

221^2 = 488412212=48841，所以 122^2 = 148841222=14884 逆序后是 221^2 = 488412212=48841

这些例子表明，随着数的增大，仍然存在这样的解。

7. 数学上的分析

为了更深入地理解这个问题，我们可以从数学角度进行分析。假设 a^2a 2是一个 nn-位数，其数字逆序后得到 b^2b2。

我们需要探讨 aa 和 bb 之间的关系。

考虑 aa 和 bb 的关系，可以发现 bb 实际上是 aa 的数字逆序。例如：

a = 12a=12, b = 21b=21

a = 13a=13, b = 31b=31

a = 102a=102, b = 201b=201

这表明 bb 是 aa 的数字逆序。因此，问题转化为：是否存在无限多个 aa 使得 a^2a2的数字逆序仍然是某个数的平方。

8. 数字逆序的性质。

数字逆序操作具有以下性质：

对于回文数，逆序后不变。

对于非回文数，逆序后会得到不同的数。

因此，我们需要探讨在平方数中，回文数和非回文数的分布情况。

9. 回文平方数的无限性

回文平方数是指平方数本身是回文数。已知存在无限多个回文平方数，例如：

1^2 = 112=1

2^2 = 422=4

3^2 = 932=9

11^2 = 121112=121

22^2 = 484222=484

26^2 = 676262=676

101^2 = 102011012=10201

111^2 = 123211112=12321

121^2 = 146411212=14641

...

这些回文平方数的逆序仍然是它们本身，因此它们满足题目的条件。

10. 非回文平方数的无限性

除了回文平方数，我们还需要考虑非回文平方数的逆序是否仍然是平方数。从已知的例子来看，存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数。例如：

12^2 = 144122=144 → 逆序后是 441，即 21^2 = 441212=441

13^2 = 169132=169 → 逆序后是 961，即 31^2 = 961312=961

102^2 = 104041022=10404 → 逆序后是 40401，即 201^2 = 40401201 2=40401

112^2 = 125441122=12544 → 逆序后是 44521，即 211^2 = 44521211 2=44521

122^2 = 148841222=14884 → 逆序后是 48841，即 221^2 = 488412212=48841

这些例子表明，非回文平方数的逆序也可能是平方数。因此，我们需要探讨是否存在无限多个这样的非回文平方数。

11. 构造更多的解

为了进一步探讨，我们可以尝试构造更多的解。考虑以下步骤：

选择一个数 aa。

计算 a^2a2。

将 a^2a2的数字逆序，得到 b^2b2。

检查 b^2b2是否是一个完全平方数。

让我们尝试一些更大的数：

103^2 = 10609103 2=10609 → 逆序后是 90601，检查 \sqrt{90601} 90601是否为整数。

301^2 = 906013012=90601，所以 103^2 = 106091032=10609 逆序后是 301^2 = 906013012=90601

113^2 = 127691132=12769 → 逆序后是 96721，检查 \sqrt{96721} 96721是否为整数。

311^2 = 967213112=96721，所以 113^2 = 127691132=12769 逆序后是 311^2 = 967213112=96721

123^2 = 151291232=15129 → 逆序后是 92151，检查 \sqrt{92151} 92151是否为整数。

计算 \sqrt{92151} \approx 303.569215≈303.56，不是整数，因此 123^2 = 151291232=15129 逆序后不是平方数。

从这些例子可以看出，虽然有些数的平方逆序后仍然是平方数，但并非所有数都满足这一条件。

12. 寻找模式

通过以上例子，我们可以尝试寻找一些模式或规律。例如：

当 aa 的个位数为 1、2、3 时，a^2a2的逆序可能是平方数。

当 aa 的个位数为其他数字时，a^2a2的逆序可能不是平方数。

然而，这种观察并不足以确定是否存在无限多个解。我们需要更深入的分析。

13. 数学上的限制

考虑数字逆序操作对平方数的影响。数字逆序操作会改变数的位数和数字的排列顺序，这可能会影响数的平方性质。具体来说：

数字逆序操作可能会改变数的奇偶性、模 3、模 9 等性质。

平方数本身具有特定的性质，例如模 4 只能为 0 或 1。

因此，数字逆序操作可能会破坏平方数的某些性质，导致逆序后的数不再是平方数。

14. 数论中的相关理论

在数论中，关于数字排列和平方数的研究较为有限。然而，有一些相关的研究和猜想，例如：

回文平方数：已知存在无限多个回文平方数。

数字排列与平方数：关于数字排列后是否仍然是平方数的研究较少。

因此，我们需要基于已知的数学理论和例子进行推断。

15. 归纳推理

基于已知的例子和数学理论，我们可以进行归纳推理：

存在无限多个回文平方数，它们的逆序仍然是平方数。

存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数。

随着数的增大，找到这样的非回文平方数的难度增加。

因此，可以推测，虽然存在无限多个回文平方数满足条件，但非回文平方数满足条件的数量可能是有限的。

16. 结论

综合以上分析，我们可以得出以下结论：

回文平方数：存在无限多个回文平方数，它们的逆序仍然是平方数。

非回文平方数：存在一些非回文平方数，其逆序仍然是平方数，但这些解的数量可能是有限的。

因此，总体而言，满足题目条件的解是无限多个，主要来自于回文平方数。非回文平方数中满足条件的解虽然存在，但数量有限。

17. 最终答案

综上所述，将平方数 a^2a 2的数字逆序后得到另一个平方数 b^2b2的解是无限多个。

这些解主要来自于回文平方数，即平方数本身是回文数的情况。此外，也存在一些非回文平方数满足这一条件，但这些解的数量相对有限。因此，总体来说，满足条件的解是无限多个。

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-16 17:06
例：343，1331，1367631，是回文立方数，

问：回文可逆立方数是有限个？还是无限个？

作者: 王守恩 时间: 2025-2-18 05:41

蔡家雄发表于 2025-2-16 17:06
例：343，1331，1367631，是回文立方数，

问：回文可逆立方数是有限个？还是无限个？

{1, 2, 7, 11, 101, 111, 1001, 1011, 1101, 10001, 10011, 10101, 11001, 11011, 100001, 100011, 100101, 100111, 101001, 101011, 101101, 110001, 110011, 110101, 111001, 1000001,
1000011, 1000101, 1000111, 1001001, 1001011, 1001101, 1010001, 1010011, 1011001, 1100001, 1100011, 1100101, 1101001, 1110001, 10000001, 10000011, 10000101, 10000111,
10001001, 10001011, 10001101, 10010001, 10010011, 10010101, 10011001, 10100001,10100011, 10100101,10101001, 10110001, 11000001,11000011,11000101,11001001,11010001,
11100001, 100000001, 100000011, 100000101, 100000111, 100001001, 100001011, 100001101, 100010001, 100010011, 100011001, 100100001, 100100011, 100100101, 100101001,
100110001, 101000001, 101000011, 101000101, 101001001, 101100001, 110000001, 110000011, 110000101, 110001001, 110010001, 110100001, 111000001}

Select[Range[(10^9 - 1)/9], IntegerReverse[#]^3 == IntegerReverse[#^3] && Mod[#, 10] != 0 &]

复制代码

OEIS——A085315——有这串数可惜只有40项——这里有88项——是因为通项公式没有我们的好。

我的电脑不行(学习版)——你的电脑比我好——再来几项！——谢谢！！

作者: 王守恩 时间: 2025-2-18 10:50

Solve[{IntegerReverse[x^2] == y^2, y >= x, 9000 > x > 0}, {x, y}, Integers]

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{x -> 1, y -> 1, x -> 2, y -> 2, x -> 3, y -> 3, x -> 11, y -> 11, x -> 12, y -> 21, x -> 13, y -> 31, x -> 22, y -> 22, x -> 26, y -> 26, x -> 33, y -> 99, x -> 101, y -> 101, x -> 102, y -> 201, x -> 103, y -> 301,
x -> 111, y -> 111, x -> 112, y -> 211, x -> 113, y -> 311, x -> 121, y -> 121, x -> 122, y -> 221, x -> 202, y -> 202, x -> 212, y -> 212, x -> 264, y -> 264, x -> 307, y -> 307, x -> 836, y -> 836, x -> 1001, y -> 1001,
x -> 1002, y -> 2001, x -> 1003, y -> 3001, x -> 1011, y -> 1101, x -> 1012, y -> 2101, x -> 1013, y -> 3101, x -> 1021, y -> 1201, x -> 1022, y -> 2201, x -> 1031, y -> 1301, x -> 1102, y -> 2011, x -> 1103, y -> 3011,

只要 x ——1, 2, 3, 11, 12, 13, 22, 26, 33, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 264, 307, 836, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103,

我们太超前了——OEIS连这串数也没有。

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-18 15:51
设 \(a , b\) 都是 \(n\) 位数，

若 \(a^2\) 的最后\(n\)位数字是\(a , b^2\) 的最后\(n\)位数字是\(b\) ,

则 \(a+b = 10^n+1\) .

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-18 17:05
存在两个自守平方数，

是否存在自守立方数？如果存在，有几个自守立方数？

作者: 王守恩 时间: 2025-2-18 17:38

王守恩发表于 2025-2-18 10:50
{x -> 1, y -> 1, x -> 2, y -> 2, x -> 3, y -> 3, x -> 11, y -> 11, x -> 12, y -> 21, x -> 13, y -> ...

只要 x ——1, 2, 3, 11, 12, 13, 22, 26, 33, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 264, 307, 836, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103,

我们太超前了——OEIS连这串数还没有。

northwolves给出了通项公式！我的不行。谢谢 northwolves！！！

{1, 2, 3, 11, 12, 13, 22, 26, 33, 101, 102, 103, 111, 112, 113, 121, 122, 202, 212, 264, 307, 836, 1001, 1002, 1003, 1011, 1012, 1013, 1021, 1022, 1031, 1102, 1103, 1111, 1112, 1113, 1121, 1122, 1202, 1212, 2002, 2012,
2022, 2285, 2636, 3168, 10001, 10002, 10003, 10011, 10012, 10013, 10021, 10022, 10031, 10101, 10102, 10103, 10111, 10112, 10113, 10121, 10122, 10201, 10202, 10211, 10212, 10221, 11002, 11003, 11011, 11012,
11013, 11021, 11022, 11031, 11102, 11103, 11111, 11112, 11113, 11121, 11122, 11202, 11211, 12002, 12012, 12102, 12202, 20002, 20012, 20022, 20102, 20112, 20122, 20508, 22865, 24846, 30693, 100001, 100002,
100003, 100011, 100012, 100013, 100021, 100022, 100031, 100101, 100102, 100103, 100111, 100112, 100113, 100121, 100122, 100201, 100202, 100211, 100212, 100221, 100301, 100311, 101002, 101003, 101011,
101012, 101013, 101021, 101022, 101031, 101101, 101102, 101103, 101111, 101112, 101113, 101121, 101122, 101201, 101202, 101211, 101212, 101301, 102002, 102011, 102012, 102021, 102022, 102102, 102111,
102121, 110002, 110003, 110011, 110012, 110013, 110021, 110022, 110031, 110102, 110103, 110111, 110112, 110113, 110121, 110122, 110202, 110211, 110212, 110221, 110922, 111002, 111003, 111012, 111013,
111021, 111022, 111031, 111102, 111103, 111111, 111112, 111121, 111202, 111211, 112002, 112012, 112102, 120002, 120012, 120102, 120112, 121002, 121102, 122002, 200002, 200012, 200022, 200102, 200112,
200122, 200202, 200212, 201012, 201022, 202012, 303577, 798644}

Select[Range@900000, IntegerQ[Power[IntegerReverse[#^2], (2)^-1]] && IntegerReverse[#^2] >= #^2 &]

复制代码

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-18 18:40
存在两个自守平方数，

设 \(a , b\) 都是 \(n\) 位数，

若 \(a^2\) 的最后\(n\)位数字是\(a , b^2\) 的最后\(n\)位数字是\(b\) ,

则 \(a+b = 10^n+1\) .

是否存在自守立方数？如果存在，有几个自守立方数？

作者: 蔡家雄 时间: 2025-2-19 08:59
自守立方数，，，

设 \(c\) 是 \(n\) 位数，

若 \(c^3\) 的最后\(n\)位数字是\(c\) , 则 \(c\) 为自守立方数，

是否存在自守立方数？如果存在，有几个自守立方数？

作者: 王守恩 时间: 2025-2-19 15:17

蔡家雄发表于 2025-2-19 08:59
自守立方数，，，

设 \(c\) 是 \(n\) 位数，

平方数 = 2, 立方数 = 3, ...... 注意观察得数相同的 k。
k=2, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=3, {1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, 18751, 31249, 40625, 49999, 50001},
k=4, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=5, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93, 99, 125, 193, 249, 251, 307, 375, 376, 432, 443, 499, 501, 557, 568, 624, 625, 693, 749, 751, 807, 875, 943, 999, 1249, 1251, 1693, 1875, 2057, 2499, 2501},
k=6, {1, 5, 6, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96, 176, 201, 376, 401, 576, 601, 625, 776, 801, 976, 1376, 2001, 3376, 4001, 5376, 6001, 7376, 8001, 9376, 20001, 29376, 40001, 49376, 60001, 69376, 80001, 89376, 90625, 109376, 200001},
k=7, {1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, 18751, 31249, 40625, 49999, 50001},
k=8, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=9, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93, 99, 125, 193, 249, 251, 307, 375, 376, 432, 443, 499, 501, 557, 568, 624, 625, 693, 749, 751, 807, 875, 943, 999, 1249, 1251, 1693, 1875, 2057, 2499, 2501},
k=10, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=11, {1, 4, 5, 6, 9, 11, 16, 19, 21, 24, 25, 29, 31, 36, 39, 41, 44, 49, 51, 56, 59, 61, 64, 69, 71, 75, 76, 79, 81, 84, 89, 91, 96, 99, 101, 125, 149, 151, 176, 199, 201, 224, 249, 251, 299, 301, 349, 351, 375, 376, 399, 401, 424, 449, 451, 499, 501},
k=12, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=13, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93, 99, 125, 193, 249, 251, 307, 375, 376, 432, 443, 499, 501, 557, 568, 624, 625, 693, 749, 751, 807, 875, 943, 999, 1249, 1251, 1693, 1875, 2057, 2499, 2501},
k=14, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=15, {1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, 18751, 31249, 40625, 49999, 50001},
k=16, {1, 5, 6, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96, 176, 201, 376, 401, 576, 601, 625, 776, 801, 976, 1376, 2001, 3376, 4001, 5376, 6001, 7376, 8001, 9376, 20001, 29376, 40001, 49376, 60001, 69376, 80001, 89376, 90625, 109376, 200001},
k=17, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93, 99, 125, 193, 249, 251, 307, 375, 376, 432, 443, 499, 501, 557, 568, 624, 625, 693, 749, 751, 807, 875, 943, 999, 1249, 1251, 1693, 1875, 2057, 2499, 2501},
k=18, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},
k=19, {1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, 18751, 31249, 40625, 49999, 50001}
k=18, {1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376},

作者: 王守恩 时间: 2025-2-20 14:55

蔡家雄发表于 2025-2-16 17:06
例：343，1331，1367631，是回文立方数，

问：回文可逆立方数是有限个？还是无限个？

Select[FromDigits@IntegerDigits[#, 2] & /@ Range[2^19], IntegerQ[Power[IntegerReverse@(#^3), (3)^-1]] && Mod[#, 10] > 0 &]

复制代码

northwolves 的通项公式！要多少有多少！！谢谢 northwolves ！！！

作者: ysr 时间: 2025-2-27 10:55

蔡家雄发表于 2025-2-27 01:32
求 \(x^2 - 2y^2 = 89\) 的正整数解

程序结果：
x=11  y=4
x=17  y=10
x=49  y=34
x=91  y=64
x=283  y=200
x=529  y=374
解可能是无穷的

作者: ysr 时间: 2025-2-27 10:58

蔡家雄发表于 2025-2-27 01:32
求 \(x^2 - 2y^2 = 89\) 的正整数解

程序结果：
x=3  y=7
x=19  y=15
x=37  y=27
x=117  y=83
x=219  y=155
x=683  y=483

解可能是无穷的

作者: ysr 时间: 2025-2-27 16:14

蔡家雄发表于 2025-2-27 04:36
求 \(x^2 - 2y^2 = 23\) 的正整数解

程序结果：
x=5  y=1
x=11  y=7
x=19  y=13
x=61  y=43
x=109  y=77
x=355  y=251
x=635  y=449

作者: ysr 时间: 2025-2-27 16:16
本帖最后由 ysr 于 2025-2-27 08:21 编辑

蔡家雄发表于 2025-2-27 04:36
求 \(x^2 - 2y^2 = - 23\) 的正整数解

程序结果：
x=3  y=4
x=7  y=6
x=25  y=18
x=45  y=32
x=147  y=104
x=263  y=186
x=857  y=606

作者: ysr 时间: 2025-2-27 17:47

蔡家雄发表于 2025-2-27 09:27
求 \(x^2 - 2y^2 = 46\) 的正整数解

程序结果：
x=8  y=3
x=12  y=7
x=36  y=25
x=64  y=45
x=208  y=147
x=372  y=263

作者: ysr 时间: 2025-2-27 17:48

蔡家雄发表于 2025-2-27 09:29
求 \(x^2 - 2y^2 = - 46\) 的正整数解

程序结果：
x=2  y=5
x=14  y=11
x=26  y=19
x=86  y=61
x=154  y=109
x=502  y=355
x=898  y=635

作者: ysr 时间: 2025-3-1 10:03

蔡家雄发表于 2025-3-1 00:35
求 \(x^2 - 5y^2=5\) 的几对正整数解，

程序结果：
x=5  y=2
x=85  y=38
x=1525  y=682

作者: ysr 时间: 2025-3-1 10:05
本帖最后由 ysr 于 2025-3-1 02:15 编辑

蔡家雄发表于 2025-3-1 00:36
求 \(x^2 - 5y^2= -5\) 的几对正整数解，

程序结果：
x=20  y=9
x=360  y=161
x=6460  y=2889

作者: ysr 时间: 2025-3-1 16:23
本帖最后由 ysr 于 2025-3-1 08:34 编辑

蔡家雄发表于 2025-3-1 07:21
求 \(x^2 - 65y^2= 65\) 的至少两对正整数解，

程序结果：
x=65 y=8
x=16705 y=2072

作者: ysr 时间: 2025-3-1 16:49

蔡家雄发表于 2025-3-1 07:23
求 \(x^2 - 65y^2= - 65\) 的至少两对正整数解，

程序结果：
x=1040 y=129

作者: 蔡家雄 时间: 2025-3-2 22:01
求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

\(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5 , [5 , 2] , [20 , 9])
(13 , [65 , 18] , [2340 , 649])
(29 , [377 , 70] , [52780 , 9801])
(53 , [1325 , 182] , [482300 , 66249])
(85 , [3485 , 378] , [2634660 , 285769])
(125 , [7625 , 682] , [10400500 , 930249])
(173 , [14705 , 1118] , [32880380 , 2499849])
(229 , [25877 , 1710] , [88499340 , 5848201])
(293 , [42485 , 2482] , [210895540 , 12320649])
(365 , [66065 , 3458] , [456905540 , 23915529])

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)\) , \(y=2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= - ((2n+1)^2+4)\) 的最小解，

则 \(x=2*(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*(2*((n+1)(n^2+(n+1)^2) - n^2))\) ,

\(y=(n^2+(n+1)^2)*((2n+1)^2+4)*((2n+1)^2+1) -1\) .

作者: ysr 时间: 2025-3-3 10:47

蔡家雄发表于 2025-3-1 23:55
求 \(x^2 - 2*y^2 = 23*47*97\) 的前10个正整数解，

x=337  y=66
x=363  y=116
x=405  y=172
x=453  y=224
x=463  y=234
x=527  y=294
x=625  y=378
x=747  y=476
x=1275  y=872
x=1553  y=1074
x=1903  y=1326
x=2255  y=1578
x=2325  y=1628
x=2757  y=1936
x=3387  y=2384
x=4145  y=2922

作者: ysr 时间: 2025-3-3 10:49

蔡家雄发表于 2025-3-1 23:58
求 \(x^2 - 2*y^2 = - (23*47*97)\) 的前10个正整数解，

x=5  y=229
x=61  y=233
x=131  y=247
x=205  y=271
x=469  y=403
x=595  y=479
x=749  y=577
x=901  y=677
x=931  y=697
x=1115  y=821
x=1381  y=1003
x=1699  y=1223
x=3019  y=2147
x=3701  y=2627
x=4555  y=3229

作者: ysr 时间: 2025-3-3 10:51

蔡家雄发表于 2025-3-2 06:50
求 \(x^2 - 2*y^2 = 7*17*23\) 的前10个正整数解，

x=53  y=6
x=55  y=12
x=57  y=16
x=73  y=36
x=75  y=38
x=107  y=66
x=117  y=74
x=135  y=88
x=183  y=124
x=213  y=146
x=235  y=162
x=363  y=254
x=377  y=264
x=585  y=412
x=647  y=456
x=757  y=534
x=1045  y=738
x=1223  y=864
x=1353  y=956
x=2105  y=1488
x=2187  y=1546
x=3403  y=2406
x=3765  y=2662
x=4407  y=3116

作者: ysr 时间: 2025-3-3 10:53

蔡家雄发表于 2025-3-2 06:52
求 \(x^2 - 2*y^2 = - (7*17*23)\) 的前10个正整数解，

x=1  y=37
x=25  y=41
x=31  y=43
x=41  y=47
x=65  y=59
x=79  y=67
x=89  y=73
x=145  y=109
x=151  y=113
x=239  y=173
x=265  y=191
x=311  y=223
x=431  y=307
x=505  y=359
x=559  y=397
x=871  y=617
x=905  y=641
x=1409  y=997
x=1559  y=1103
x=1825  y=1291
x=2521  y=1783
x=2951  y=2087
x=3265  y=2309

作者: ysr 时间: 2025-3-3 15:23

蔡家雄发表于 2025-3-3 07:03
求 x^2 - 2*y^2=M=2*31*41*71 的正整数解，

虽然 M 有4个质因子，但是 M 只有3个(奇)质因子，，，

x=430  y=47
x=458  y=121
x=482  y=161
x=550  y=247
x=662  y=359
x=802  y=481
x=890  y=553
x=1102  y=719
x=1478  y=1001
x=1858  y=1279
x=2090  y=1447
x=2638  y=1841
x=3422  y=2401
x=4330  y=3047
x=4882  y=3439

作者: ysr 时间: 2025-3-3 16:32

蔡家雄发表于 2025-3-3 07:46
求 x^2 - 2*y^2=M= 负 (2*31*41*71) 的正整数解，

虽然 M 有4个质因子，但是 M 只有3个(奇)质因子，，，

x=56  y=303
x=160  y=321
x=216  y=337
x=336  y=383
x=524  y=477
x=700  y=579
x=804  y=643
x=1044  y=797
x=1380  y=1021
x=1764  y=1283
x=1996  y=1443
x=2540  y=1821
x=3480  y=2479
x=4416  y=3137
x=4984  y=3537

作者: ysr 时间: 2025-3-3 18:08

蔡家雄发表于 2025-3-3 09:06
求 x^2 - 2*y^2 = 2023 的正整数解，

虽然 2023 = 7*17*17，但它只有两个不同的(奇)质因子，，

x=45  y=1
x=51  y=17
x=59  y=27
x=69  y=37
x=85  y=51
x=131  y=87
x=139  y=93
x=221  y=153
x=285  y=199
x=355  y=249
x=459  y=323
x=741  y=523
x=789  y=557
x=1275  y=901
x=1651  y=1167
x=2061  y=1457
x=2669  y=1887
x=4315  y=3051
x=4595  y=3249

作者: ysr 时间: 2025-3-3 21:00

蔡家雄发表于 2025-3-3 10:45
求 x^2 - 2*y^2 = 负 2023 的正整数解，

虽然负 2023 = 负 (7*17*17)，但它只有两个不同的(奇)质因子， ...

x=5  y=32
x=17  y=34
x=43  y=44
x=47  y=46
x=85  y=68
x=113  y=86
x=143  y=106
x=187  y=136
x=305  y=218
x=325  y=232
x=527  y=374
x=683  y=484
x=853  y=604
x=1105  y=782
x=1787  y=1264
x=1903  y=1346
x=3077  y=2176
x=3985  y=2818
x=4975  y=3518

作者: ysr 时间: 2025-3-5 08:07

蔡家雄发表于 2025-3-4 09:34
求 \(x^2 - 5*y^2 = 11\) 的正整数解，

程序结果：
x=4  y=1
x=16  y=7
x=56  y=25
x=284  y=127
x=1004  y=449
x=5096  y=2279

作者: ysr 时间: 2025-3-5 08:14

蔡家雄发表于 2025-3-4 09:39
求 \(x^2 - 5*y^2 = - 11\) 的正整数解，

程序结果：
x=3  y=2
x=13  y=6
x=67  y=30
x=237  y=106
x=1203  y=538
x=4253  y=1902

作者: ysr 时间: 2025-3-5 08:57

蔡家雄发表于 2025-3-5 00:36
求 \(x^2 - 5*y^2 = 19\) 的正整数解，

程序结果：
x=8  y=3
x=12  y=5
x=132  y=59
x=208  y=93
x=2368  y=1059
x=3732  y=1669

作者: ysr 时间: 2025-3-5 09:01

蔡家雄发表于 2025-3-5 00:37
求 \(x^2 - 5*y^2 = - 19\) 的正整数解，

程序结果：
x=1  y=2
x=31  y=14
x=49  y=22
x=559  y=250
x=881  y=394

作者: ysr 时间: 2025-3-5 09:22

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:06
求 \(x^2 - 5*y^2 = 41\) 的正整数解，

程序结果：
x=11  y=4
x=19  y=8
x=179  y=80
x=331  y=148
x=3211  y=1436
x=5939  y=2656

作者: ysr 时间: 2025-3-5 09:24

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:07
求 \(x^2 - 5*y^2 = - 41\) 的正整数解，

x=2  y=3
x=42  y=19
x=78  y=35
x=758  y=339
x=1402  y=627

作者: ysr 时间: 2025-3-5 09:33

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:08
求 \(x^2 - 5*y^2 = 71\) 的正整数解，

x=14  y=5
x=26  y=11
x=226  y=101
x=454  y=203
x=4054  y=1813
x=8146  y=3643

作者: ysr 时间: 2025-3-5 09:39

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:08
求 \(x^2 - 5*y^2 = - 71\) 的正整数解，

x=3  y=4
x=53  y=24
x=107  y=48
x=957  y=428
x=1923  y=860

作者: ysr 时间: 2025-3-5 11:05

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:44
求 \(x^2 - 5*y^2 = 79\) 的正整数解，

x=18  y=7
x=22  y=9
x=302  y=135
x=378  y=169
x=5418  y=2423
x=6782  y=3033

作者: ysr 时间: 2025-3-5 11:08

蔡家雄发表于 2025-3-5 01:44
求 \(x^2 - 5*y^2 = - 79\) 的正整数解，

x=1  y=4
x=71  y=32
x=89  y=40
x=1279  y=572
x=1601  y=716

作者: ysr 时间: 2025-3-5 13:19

蔡家雄发表于 2025-3-5 04:37
求 \(x^2 - 5*y^2 = 71*79\) 的正整数解，

x=77  y=8
x=83  y=16
x=427  y=188
x=533  y=236
x=853  y=380
x=1067  y=476
x=7603  y=3400
x=9517  y=4256

作者: ysr 时间: 2025-3-5 13:21

蔡家雄发表于 2025-3-5 04:38
求 \(x^2 - 5*y^2 = - (71*79)\) 的正整数解，

x=86  y=51
x=114  y=61
x=194  y=93
x=246  y=115
x=1794  y=803
x=2246  y=1005
x=3606  y=1613
x=4514  y=2019

作者: ysr 时间: 2025-3-5 13:45

蔡家雄发表于 2025-3-5 05:28
求 \(x^2 - 5*y^2 = 11*19*41\) 的正整数解，

x=93  y=4
x=107  y=24
x=117  y=32
x=163  y=60
x=267  y=112
x=413  y=180
x=483  y=212
x=757  y=336
x=917  y=408
x=1443  y=644
x=1693  y=756
x=2667  y=1192
x=4643  y=2076
x=7317  y=3272
x=8587  y=3840

作者: ysr 时间: 2025-3-5 13:48

蔡家雄发表于 2025-3-5 05:29
求 \(x^2 - 5*y^2 = - (11*19*41)\) 的正整数解，

x=26  y=43
x=74  y=53
x=94  y=59
x=166  y=85
x=206  y=101
x=334  y=155
x=394  y=181
x=626  y=283
x=1094  y=491
x=1726  y=773
x=2026  y=907
x=3194  y=1429
x=3874  y=1733
x=6106  y=2731
x=7166  y=3205

作者: ysr 时间: 2025-3-5 21:11

蔡家雄发表于 2025-3-5 12:57
求 x^2 - 7*y^2= 负 47 的解，可以有吗？

x=4  y=3
x=31  y=12
x=95  y=36
x=500  y=189
x=1516  y=573
x=7969  y=3012

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:06

蔡家雄发表于 2025-3-6 02:00
求 \(x^2 - 17*y^2 = 47\) 的正整数解，

x=8  y=1
x=128  y=31
x=400  y=97
x=8440  y=2047

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:08

蔡家雄发表于 2025-3-6 04:56
求 \(x^2 - 17*y^2 = - 47\) 的正整数解，

x=15  y=4
x=49  y=12
x=1039  y=252
x=3249  y=788

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:13

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:16
求 \(x^2 - 17*y^2 = 13\) 的正整数解，

x=9  y=2
x=25  y=6
x=569  y=138
x=1641  y=398

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:20

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:22
求 \(x^2 - 17*y^2 = - 13\) 的正整数解，

x=2  y=1
x=70  y=17
x=202  y=49
x=4622  y=1121

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:28

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:25
求 \(x^2 - 17*y^2 = 17\) 的正整数解，

x=17 y=4
x=1105 y=268

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:32

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:26
求 \(x^2 - 17*y^2 = - 17\) 的正整数解，

x=136 y=33
x=8976 y=2177

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:34

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:29
求 \(x^2 - 17*y^2 = 43\) 的正整数解，

x=14  y=3
x=54  y=13
x=870  y=211
x=3550  y=861

作者: ysr 时间: 2025-3-7 08:47

蔡家雄发表于 2025-3-6 09:31
求 \(x^2 - 17*y^2 = - 43\) 的正整数解，

x=5  y=2
x=107  y=26
x=437  y=106
x=7067  y=1714

作者: ysr 时间: 2025-3-7 09:33

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:00
求 \(x^2 - 5*y^2= 29\) 的正整数解，

x=7  y=2
x=23  y=10
x=103  y=46
x=407  y=182
x=1847  y=826
x=7303  y=3266

作者: ysr 时间: 2025-3-7 09:38

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:02
求 \(x^2 - 5*y^2= - 29\) 的正整数解，

x=4  y=3
x=24  y=11
x=96  y=43
x=436  y=195
x=1724  y=771
x=7824  y=3499

作者: ysr 时间: 2025-3-7 09:47

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:04
求 \(x^2 - 5*y^2= 31\) 的正整数解，

x=6  y=1
x=34  y=15
x=74  y=33
x=606  y=271
x=1326  y=593

作者: ysr 时间: 2025-3-7 10:07

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:05
求 \(x^2 - 5*y^2= - 31\) 的正整数解，

x=7  y=4
x=17  y=8
x=143  y=64
x=313  y=140
x=2567  y=1148
x=5617  y=2512

作者: ysr 时间: 2025-3-7 10:11

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:08
求 \(x^2 - 5*y^2= 59\) 的正整数解，

x=8  y=1
x=52  y=23
x=92  y=41
x=928  y=415
x=1648  y=737

作者: ysr 时间: 2025-3-7 10:14

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:08
求 \(x^2 - 5*y^2= - 59\) 的正整数解，

x=11  y=6
x=21  y=10
x=219  y=98
x=389  y=174
x=3931  y=1758
x=6981  y=3122

作者: ysr 时间: 2025-3-7 10:32

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:18
求 \(x^2 - 5*y^2= 61\) 的正整数解，

x=9  y=2
x=41  y=18
x=121  y=54
x=729  y=326
x=2169  y=970

作者: ysr 时间: 2025-3-7 11:24

蔡家雄发表于 2025-3-7 01:18
求 \(x^2 - 5*y^2= - 61\) 的正整数解，

x=8  y=5
x=28  y=13
x=172  y=77
x=512  y=229
x=3088  y=1381
x=9188  y=4109

作者: ysr 时间: 2025-3-7 20:42

蔡家雄发表于 2025-3-7 11:14
求 \(x^2 - 29*y^2= - 173\) 的正整数解，

x=436 y=81
x=1944 y=361

作者: ysr 时间: 2025-3-8 06:14
本帖最后由 ysr 于 2025-3-8 02:33 编辑

蔡家雄发表于 2025-3-7 13:57
求 \(x^2 - 29*y^2= 173\) 的正整数解，

x＝17 y=2

x=61057 y=11338

作者: ysr 时间: 2025-3-9 08:47

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:24
求 \(x^2 - 5*y^2= 29*31\) 的正整数解，

x=32  y=5
x=52  y=19
x=88  y=37
x=188  y=83
x=388  y=173
x=848  y=379
x=1532  y=685
x=3352  y=1499
x=6952  y=3109

作者: ysr 时间: 2025-3-9 08:48

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:24
求 \(x^2 - 5*y^2= - (29*31)\) 的正整数解，

x=9  y=14
x=39  y=22
x=89  y=42
x=199  y=90
x=361  y=162
x=791  y=354
x=1641  y=734
x=3591  y=1606
x=6489  y=2902

作者: ysr 时间: 2025-3-9 08:52

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:26
求 \(x^2 - 5*y^2= 59*61\) 的正整数解，

x=62  y=7
x=82  y=25
x=238  y=103
x=418  y=185
x=698  y=311
x=1238  y=553
x=4202  y=1879
x=7462  y=3337

作者: ysr 时间: 2025-3-9 08:56

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:26
求 \(x^2 - 5*y^2= - (59*61)\) 的正整数解，

x=39  y=32
x=89  y=48
x=159  y=76
x=289  y=132
x=991  y=444
x=1761  y=788
x=2951  y=1320
x=5241  y=2344

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:05

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:31
求 \(x^2 - 5*y^2= 149*151\) 的正整数解，

x=152  y=11
x=212  y=67
x=568  y=245
x=1148  y=509
x=1588  y=707
x=3248  y=1451

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:06

蔡家雄发表于 2025-3-8 11:32
求 \(x^2 - 5*y^2= - (149*151)\) 的正整数解，

x=89  y=78
x=249  y=130
x=359  y=174
x=759  y=346
x=2361  y=1058
x=4841  y=2166
x=6711  y=3002

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:10

蔡家雄发表于 2025-3-8 14:23
求 \(x^2 - 5*y^2= 29*59\) 的正整数解，

x=46  y=9
x=66  y=23
x=134  y=57
x=234  y=103
x=594  y=265
x=1054  y=471
x=2346  y=1049
x=4166  y=1863

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:11

蔡家雄发表于 2025-3-8 14:25
求 \(x^2 - 5*y^2= - (29*59)\) 的正整数解，

x=17  y=20
x=47  y=28
x=137  y=64
x=247  y=112
x=553  y=248
x=983  y=440
x=2513  y=1124
x=4463  y=1996
x=9937  y=4444

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:34

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:24
求 x^2 - 5*y^2= 31*61 的正整数解，

x=44  y=3
x=64  y=21
x=156  y=67
x=336  y=149
x=456  y=203
x=996  y=445
x=2744  y=1227
x=6004  y=2685
x=8164  y=3651

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:35

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:25
求 \(x^2 - 5*y^2= - (31*61)\) 的正整数解，

x=23  y=22
x=73  y=38
x=103  y=50
x=233  y=106
x=647  y=290
x=1417  y=634
x=1927  y=862
x=4217  y=1886

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:50

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:26
求 x^2 - 5*y^2= 179*181 的正整数解，

x=202  y=41
x=218  y=55
x=862  y=377
x=998  y=439
x=2638  y=1177
x=3062  y=1367

作者: ysr 时间: 2025-3-9 09:51

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:27
求 \(x^2 - 5*y^2= - (179*181)\) 的正整数解，

x=161  y=108
x=199  y=120
x=609  y=284
x=711  y=328
x=3609  y=1616
x=4191  y=1876

作者: ysr 时间: 2025-3-9 11:07

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:58
求 \(x^2 - 13*y^2= 283\) 的正整数解，

x=20 y=3
x=5960 y=1653

作者: ysr 时间: 2025-3-9 11:08

蔡家雄发表于 2025-3-9 01:58
求 \(x^2 - 13*y^2= - 283\) 的正整数解，

x=165 y=46
x=555 y=154

作者: ysr 时间: 2025-3-9 15:09

蔡家雄发表于 2025-3-9 03:38
求 \(x^2 - 13*y^2= 139\) 的正整数解，

x=16 y=3
x=3364 y=933

作者: ysr 时间: 2025-3-9 15:09

蔡家雄发表于 2025-3-9 03:39
求 \(x^2 - 13*y^2= - 139\) 的正整数解，

x=93 y=26
x=483 y=134

作者: ysr 时间: 2025-3-9 16:09
本帖最后由 ysr 于 2025-3-9 08:20 编辑

蔡家雄发表于 2025-3-9 07:45
求 \(x^2 - 29*y^2= 59\) 的正整数解，

x=28 y=5
x=10528 y=1955

作者: ysr 时间: 2025-3-9 16:09

蔡家雄发表于 2025-3-9 07:47
求 \(x^2 - 29*y^2= - 59\) 的正整数解，

x=75 y=14
x=3845 y=714

作者: ysr 时间: 2025-3-13 10:56

蔡家雄发表于 2025-3-9 10:11
求 \(x^2 - 53*y^2= 307\) 的正整数解，善财童子五十三参，，，

500000内的2组解：
x=28 y=3
x=408072 y=56053

作者: ysr 时间: 2025-3-13 10:58

蔡家雄发表于 2025-3-9 10:11
求 \(x^2 - 53*y^2= - 307\) 的正整数解，善财童子五十三参，，，

500000内的2组解：
x=1121 y=154
x=9071 y=1246

作者: ysr 时间: 2025-3-13 12:53

蔡家雄发表于 2025-3-13 04:34
求 \(x^2 - 85*y^2= 161\) 的正整数解，

x=39  y=4
x=369  y=40
x=62361  y=6764

作者: ysr 时间: 2025-3-13 12:54

蔡家雄发表于 2025-3-13 04:34
求 \(x^2 - 85*y^2= - 161\) 的正整数解，

x=82  y=9
x=802  y=87
x=28682  y=3111
x=278882  y=30249

作者: ysr 时间: 2025-3-13 12:55

蔡家雄发表于 2025-3-13 04:35
求 \(x^2 - 125*y^2= 29\) 的正整数解，

x=23 y=2
x=594727 y=53194

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