70 年难题终破局！丘成桐团队证明所有 28 种 7 维奇异球面都存在正截面曲率，致谢 AI

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70 年难题终破局！丘成桐团队证明所有 28 种 7 维奇异球面都存在正截面曲率，致谢 AI

原创  元小曦  人工智能与泛虚拟现实  2026 年 10 月 2 日 20:18  辽宁



【导语】近日，arXiv 平台发布了一篇丘成桐（Shing-Tung Yau）研究团队的微分几何论文。论文宣告了一个悬置半个多世纪的核心问题取得彻底突破：全部 28 种光滑同伦 7 维球面，都可以构造出严格正截面曲率的光滑黎曼度量。论文还特别感谢了 ChatGPT-6 Astra 和 Claude Pro 。


▲ 论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/2609.29426

2026 年 9 月 24 日，arXiv 平台刊发了一篇重磅微分几何论文 ——

《POSITIVE SECTIONAL CURVATURE ON ALL SMOOTH 7-SPHERES》（所有光滑 7 维球面上的正截面曲率）


▲ 论文地址，链接：arxiv.org/abs/2609.29426

论文由何杨辉（Yang-Hui He）、刘子然（Ziran Liu）与丘成桐（Shing-Tung Yau）合作完成。这篇论文宣告了一个悬置半个多世纪的核心问题取得了彻底突破：

全部 28 种光滑同伦 7 维球面，都可以构造出严格正截面曲率的光滑黎曼度量。

这一结论补上了正曲率与奇异球面关系的最后一块拼图，也重新定义了几何学界对“曲率条件”与“光滑结构”之间关联的认知。

丘成桐在论文中，还特别感谢了人工智能模型：

致谢：感谢人工智能模型，特别是 ChatGPT 6 Astra 与 Claude Pro ，它们在部分证明思路探索与演算工作上提供了宝贵协助。尽管如此，论文的人工核验与内容阐述责任由作者承担。


▲ 论文节选，链接：arxiv.org/pdf/2609.29426

▇ 从米尔诺的惊世发现，到半个世纪的追问

故事要从 1956 年说起。

美国传奇拓扑/微分几何大师、菲尔兹奖得主、阿贝尔奖得主约翰·米尔诺（John Milnor），当时给出了一个震惊整个拓扑界的构造：

存在 7 维的光滑流形，它和标准的 7 维球面同胚（拓扑意义上完全是同一个球面），但却不微分同胚（光滑结构存在本质差异，无法通过光滑坐标变换互相转化）。

这就是“奇异球面（Exotic sphere）”的诞生：同一个拓扑球面，可以承载完全不同的光滑结构，学界又称“怪球”。这也是米尔诺获得 1962 年菲尔兹奖的的最核心的成果。


▲ 约翰·米尔诺（John Milnor）

七年之后，1963 年，法国数学家米歇尔·凯尔韦尔（Michel Kervaire）与米尔诺进一步证明：7 维同伦球面的定向微分同胚类构成一个群 Θ7 ，它同构于模 28 的整数群 Z/28Z 。

换句话说： 7 维球面一共存在 28 种不同的光滑结构，其中只有 1 种是我们熟悉的标准球面，剩下 27 种均为“奇异球面”。


▲ 7 维“奇异球面”的示意

拓扑结构一致，光滑结构不同，那几何性质会不会有差异？

一个最核心的追问随之而来：

标准球面可以拥有常正截面曲率（sectional curvature）（比如单位球面截面曲率恒为 1 ），那奇异球面也能承载严格处处正的截面曲率吗？

通俗地说，就是标准球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。数学家也想知道，另外那 27 个“怪球”，能不能也做到这一点。

这个问题的分量在于：

它直接检验着黎曼几何的核心命题 —— 正截面曲率这种很强的几何条件，会不会强制限制流形的光滑类型？

在此之前，人们已经知道一个极强的刚性结果：Brendle 和 Schoen 的微分球面定理指出，如果一个闭的单连通黎曼流形满足严格点态 1/4-夹逼（1/4-pinching ，曲率夹逼），即每一点处截面曲率的最小值大于最大值的 1/4 ，那它一定微分同胚于标准球面。

这就直接说明：奇异球面不可能有 1/4 夹逼的正曲率。 但如果去掉“夹逼”这个定量条件，只要求截面曲率处处严格大于 0 呢？奇异球面还会被排除吗？这个问题，整整困扰了几何学界半个多世纪。

▇ 从非负到严格正：几代数学家的接力

1974 年，数学家德特勒夫·格罗莫尔（Detlef Gromoll）和沃尔夫冈·迈耶（Wolfgang Meyer），共同构造出了第一个具有非负截面曲率的奇异球面（Gromoll-Meyer 球面），首次证明了奇异球面至少可以“不出现负曲率”。


▲ 论文摘要，链接：webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/gromey.pdf

换句话说，就是这些“怪球”的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。但“非负”和“严格处处为正”之间，隔着一道巨大的技术鸿沟。

此后几十年里，数学家们不断向前推进：

2000 年，丹麦数学家格罗夫（Karsten Grove）与德国数学家齐勒（Wolfgang Ziller）证明，所有米尔诺球上都能构造出非负截面曲率的黎曼度量。

2020 年，德国数学家戈特（Sebastian Goette）、爱尔兰数学家凯林（Martin Kerin）与美国数学家尚卡尔（Krishnan Shankar），将非负截面曲率度量的存在性推广到全部 7 维奇异球面。


▲ 论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/1705.05895

在 2000 年到 2020 年的二十多年间，一直有数学家们进行了尝试，但始终没有人能证明：所有 28 种 7 维奇异球面，都能拥有严格处处正的截面曲率。

1999 年，威廉（Frederick Wilhelm ，美国）在格罗莫尔-迈耶球面上得到了几乎处处正的截面曲率。

2018 年，埃申堡（Jost Eschenburg ，德国）与凯林（Martin Kerin ，爱尔兰）构造了“几乎正曲率”度量（非负且在开稠密集上为正）。

彼得森（Peter Petersen ，美国）与威廉（Frederick Wilhelm ，美国）、欧阳泽亮（Zeliang Ouyang ，中国）、郭帅（Shuai Guo ，中国）等也都先后提出过严格正曲率的构造尝试。

直到本篇论文的出现。

▇ 证明思路：拆成两半、各自构造，再精准粘合

论文的整体策略可以用一句话概括：

把奇异球面拆成两个 7 维圆盘，分别在圆盘上构造满足边界条件的正曲率度量，再用粘合定理拼成完整的闭球面。

双圆盘模型：奇异球面的“南北半球”拆分

论文作者使用了阿根廷数学家杜兰（Carlos Durán）、德国数学家普特曼（Thomas Püttmann）和巴西数学里加斯（Antonio Rigas）在 1999 年提出的「双圆盘模型」:

每一个 7 维同伦球面 ∑n（对应 28 类中的第 n 类），都可以看作两个 7 维圆盘 Dn（北圆盘）和 Ds（南圆盘），沿着边界通过指定微分同胚 φn 粘合而成。对于不同的 n 对应不同的粘合映射，也就对应不同的光滑结构。


▲ 双圆盘模型示意，AI 制图：量子位

换句话说，在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28 种球面对应 28 种不同的粘合方式。

于是问题被转化为：

能不能给南北两个 7 维圆盘都装上严格正截面曲率的度量，使得它们边界上的诱导度量在粘合映射下刚好相等，并且满足正曲率粘合的相容性条件？

南北圆盘：两套定制的正曲率构造

作者并不是直接在七维圆盘上造度量，他们先以三维球面 S3 为纤维的主丛（principal bundle），把问题搬到了一个十维空间里。

具体来说，就是在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维的空间。在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。

然后，通过黎曼淹没（Riemannian submersion），把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。

针对南北两个圆盘的不同特点，论文分别设计了独立的度量构造方案：

◇南圆盘◇

采用带主丛联络的黎曼度量，通过精心设计纤维半径的指数型函数，利用 Hessian 的正性保证混合曲率项为正，最终得到整个圆盘（包括边界）上的严格正截面曲率。

◇北圆盘◇

采用双扭乘度量，专门设计了角度方向的轮廓函数和纤维方向的半径函数，让基底曲率主导混合项，同样实现了圆盘上处处严格正的截面曲率。

这两套构造最精妙的地方在于：

它们可以在边界上匹配完全相同的诱导度量，同时让两个圆盘边界的向外第二基本形式之和保持严格正定 —— 这正是粘合定理需要的核心条件。


▲ 双圆盘模型中的非对称构造，AI 制图：量子位

关键一步：正曲率粘合定理

有了两个边界等距、且第二基本形式和为正定的正曲率圆盘，就可以使用 Reiser-Wraith 粘合定理。

2023 年，德国数学家赖泽（Philipp Reiser）与爱尔兰数学家雷思（David J. Wraith）建立并推广了经典的佩雷尔曼粘合定理，提出了适用范围更广的 Reiser-Wraith 正曲率粘合定理。


▲ 论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/2308.06996

定理允许将两个带正中间 Ricci 曲率（包含严格正截面曲率）、边界等距匹配的黎曼流形沿公共边界光滑粘合，仅需满足两侧边界第二基本形式之和半正定的边界匹配条件，即可保证粘合后的整体流形依然保持对应的正曲率条件。

换句话说：

只要两个带边流形的边界度量等距，且向外第二基本形式之和半正定，就可以将它们光滑地粘起来，得到整体仍然具有严格正截面曲率的闭流形。

论文还在附录中给出了严格正情形的完整粘合证明：通过三次多项式插值搭配张量值磨光技术，确保接缝处平滑过渡，且曲率处处严格大于 0 ，不会在粘合位置出现非正的“瑕疵”。

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▇ 它为什么重要？重新理解正曲率的刚性

这篇论文最深刻的意义，在于它和 Brendle-Schoen 球面定理形成了完美的互补：

如果曲率足够“均匀”（满足 1/4 夹逼），那么正曲率会强制流形是标准球面，奇异球面被排除。

如果只要求曲率处处为正，不限制夹逼程度，那么所有 28 种光滑结构都可以存在，正曲率本身并不排除任何光滑类型。

换句话说：

决定 7 维球面光滑刚性的，从来不是“曲率正不正”，而是“曲率分布得均不均匀”。

这彻底改变了人们对正截面曲率与光滑结构关系的认知。正曲率的“刚性”，其实是定量的曲率分布带来的，而非曲率的正号本身。

华裔科学家、数学大师丘成桐

丘成桐（Shing-Tung Yau），1949 年 4 月生于广东汕头，美籍华裔数学家，是当代最具影响力的微分几何大师，首位获得菲尔兹奖的华人。


▲ 丘成桐官方照片

1966 年，考入香港中文大学数学系，三年完成本科。1969 年，赴美国加州大学伯克利分校深造，师从数学大师陈省身。1971 年，22 岁取得博士学位。

1976 年（27 岁），证明卡拉比猜想，由此诞生卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold），既是代数几何核心对象，也是弦理论的基础空间模型。开创了重要数学分支几何分析，打通微分几何与偏微分方程。

1981 年，与数学家理查德·舍恩（Richard Schoen）合作证明广义相对论里的正质量猜想。之后，还在 Monge-Ampère 方程、镜对称猜想、拓扑等领域取得大量突破性成果。

1982 年（33 岁），获得菲尔兹奖（数学界最高荣誉，俗称数学诺贝尔奖），该奖项第一个获奖的华人。还陆续获得了维布伦几何奖、麦克阿瑟天才奖、克雷福德奖、美国国家科学奖章、沃尔夫数学奖、马塞尔·格罗斯曼奖（物理领域大奖）等重大奖项。

◇数学界的巨大贡献◇

丘成桐的工作深刻重塑了微分几何，打通数学与理论物理，他开创的几何分析方向，后续多名学者凭该方向成果拿到菲尔兹奖，是 20 世纪下半叶数学界标志性人物之一。

2022 年，全职任教清华大学，丘成桐数学科学中心主任、北京雁栖湖应用数学研究院院长、清华求真书院院长，长期致力于在中国本土培养顶尖数学人才，创办丘成桐数学竞赛、求真书院，发掘青年数学人才。

中国科学院外籍院士（1994），香港中文大学博文讲座教授、数学科学研究所所长。美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士，哈佛大学数学系、物理系的终身教授。

◇丘成桐谈人工智能（AI）◇

丘成桐对于人工智能（AI）的观点，近几年也清晰看到变化。

早期他认为 AI 只是辅助工具、无法替代顶尖数学家。后续逐步认可 AI 在数学科研中的价值，提出数学是 AI 底层突破口，主张人机协同，但始终坚持 AI 不能独立完成原创性的观念突破。

2023 年 4 月 - 复旦大学浦江科学大师讲坛

提出核心观点：AI 无法取代顶尖数学家。包括：AI 只能整合人类已有的知识，很难产生观念层面的原创突破；AI 离不开数学，想要在 AI 领域取得根本性突破，必须夯实基础数学。当时他判断：尖端数学研究基本不会受到 AI 的影响。

2024 年 4 月 - 中关村论坛年会

媒体采访核心观点：AI 可以帮助数学发展，但不能改变数学。包括：AI 擅长海量数据处理，可作为数学研究的辅助工具；但数学本身的底层结构、重大猜想的原创证明，AI 无法颠覆；数学是 AI 发展的根基，数学能够为 AI 提供理论支撑。

2024 年 7 月 - 国际基础科学大会-基础科学与人工智能论坛

核心观点：推动数学与 AI 交叉，鼓励交叉学科人才培养。包括：举办数学与 AI 专题论坛，促进数学家和 AI 研究者对话；强调 AI 擅长模式识别与数据处理，但创造性、新概念生成能力不足，无法替代人类科学家。

2025 年 7 月 - 世界人工智能大会

核心观点：现场命题测试国产大模型，认可 AI 解数学题能力，但边界清晰。包括：现场出题测试多款国产大模型的数学推理能力；认为 AI 可以解奥数、一些中小型数学问题，但还不能攻克主流数学中长期悬而未决的重大猜想；建议学生尽早学会使用 AI 工具做文献检索、归纳、辅助计算。

2025 年 9 月 - IJCAI 国际人工智能联合会议（广州）

主旨报告《通过现代数学理论推动人工智能发展》，核心观点：AI 的下一轮重大突破，需要现代数学理论。包括：当前大模型靠堆算力、堆数据，存在可解释性差、幻觉等根本缺陷；需要从微分几何、泛函分析等现代数学里寻找新框架，给 A I建立严谨逻辑，解决 AI 幻觉与推理不稳定问题。

2026 年 1 月 - 第十届世界华人数学家大会（ICCM）

核心观点：AI 需要属于这个时代的 FFT 式数学突破，人机协同才是方向。包括：AI 需要的不是更多显卡，而是属于这个时代的 FFT ；现在 AI 瓶颈不是算力，而是缺少底层数学范式革新；AI 只能整合已有知识，能够提升科研效率，但不是科学范式革命；AI 擅长解题，但无法提出宏大原创猜想、发现数学里的“奇点”；发起全球数学征解计划，尝试用数学严谨逻辑校正 AI 幻觉，推动数学与 AI 协同进化；提出人脑 + AI 合作攻克重大数学难题。

2026 年 8 月 - 澎湃新闻专访

核心观点：区分两类数学问题，AI 能解决组合类问题，但主流深度数学问题仍无法独立突破。包括：AI 解决一些组合类、埃尔德什风格问题并不意外；但希尔伯特 23 问这类深刻的主流数学难题，AI 至今无法独立完成；AI 可以做已有知识的组合推理，但无法完成对宇宙规律、数学结构的深度原创洞察。

2026 年 9 月，对外公开提出筹办《AI 辅助数学杂志》，丘成桐本人担任总编辑，预计 2027 年创刊。日前，求真书院已经启动 AI 辅助形式化证明项目，尝试用 AI 协助完成庞加莱猜想形式化证明。

在本次论文中正式致谢了人工智能（AI）模型，特别提到是 ChatGPT 6 Astra 与 Claude Pro ，阐明了 AI 在部分证明思路探索与演算工作上提供了宝贵协助。不过也表明：论文的人工核验与内容阐述责任由作者承担。

从 2023 到 2026 年，丘成桐从“ AI 不影响尖端数学”，逐步转向积极拥抱 AI 作为科研助手。丘成桐是菲尔兹奖获得者中积极拥抱人工智能的代表，但他的核心立场始终没有变：

AI 是效率工具，无法独立产生观念层面的原创数学突破。

AI 未来的颠覆性进步，必须扎根更深的数学理论。

28 位菲尔兹奖得主的联合宣言

9 月 11 日，陶哲轩、邓煜、舒尔茨等首批 25 位菲尔兹奖得主联合署名发表了一份联合宣言《A Severe Misalignment of AI in Mathematics》，共同警告：AI 企业将“破解数学难题”作为性能标杆的狂欢，正在损害数学这门科学本身！AI 与数学研究的目标，已经发生了严重的错位。


▲ 联合宣言及签字板：mathandai.org

陶哲轩也提到：“遗憾的是，我们没能像莱顿宣言那样开展更充分的征询磋商流程；但我们判断事态紧迫，必须尽早对外发布这份声明”。


▲ 联合宣言起草签字的 25 位菲尔兹奖得主全景：阿图尔·阿维拉（2014），曼朱尔·巴尔加瓦（2014），考切尔·比尔卡尔（2018），皮埃尔·德利涅（1978），邓煜（2026），西蒙·唐纳森（1986），雨果·杜米尼-科潘（2022），阿莱西奥·菲加利（2018），马丁·海雷尔（2014），许埈珥（2022），马克西姆·孔采维奇（1998），埃隆·林登施特劳斯（2010），皮埃尔-路易·利翁斯（1994），詹姆斯·梅纳德（2022），柯蒂斯·麦克马伦（1998），森重文（1990），吴宝珠（2010），安德烈·奥昆科夫（2006），彼得·舒尔茨（2018），斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫（2010），陶哲轩（2006），玛丽娜·维亚佐夫斯卡（2022），塞德里克·维拉尼（2010），文德林·维尔纳（2006），叶菲姆·泽尔马诺夫（1994）

截止到目前，这份联合宣言又增加了三位菲尔兹奖得主签名：弗拉基米尔·德林费尔德（1990）、格里戈里·马尔古利斯（1978）、戴维·芒福德（1974），已有 28 位菲奖得主签字。

值得一提的是，丘成桐并没有在这份联合宣言中签名。

结语

从 1956 年米尔诺（Milnor）发现奇异球面，到 2026 年的今天，丘成桐团队证明全部 28 种 7 维球面都存在正曲率度量，整整走过了 70 年。

这不仅是一个经典问题的完美收官，更是微分几何中拓扑、光滑结构与曲率三者关系的一次深度澄清。它告诉我们：几何的约束远比我们想象的更精细 —— 正号只是起点，曲率的定量分布，才是掌控光滑刚性的那只手。

不过更让大家深思的是，近期 AI 接连攻破多项悬置多年的数学猜想，在本次 7 维奇异球面研究中，AI 辅助探索证明思路、完成复杂演算，已经在基础数学领域站稳一席之地。

无独有偶，就在几天前，Vals AI 研究员格比·贾夫（Geby Jaff）公布了一项实验成果：10 个 Claude Opus 5.5 智能体组成的 AI 团队，仅用 15 小时，就提出了全新的最短路径算法 C-HD 。它不仅在理论复杂度上超越了 Dijkstra 算法的经典上界，还用 Lean 工具完成了完整的形式化数学证明。人工智能（AI）能力已从基础数学拓展至计算机领域。

人机协同的科研范式将持续释放创造力，大幅加快前沿猜想的突破速度，重塑数学家的研究工作。

人工智能与泛虚拟现实