数学中国

标题: 已知当 x∈[-1,1] 时｜ax^2+bx+c｜≤1 ，求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围 [打印本页]

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作者: luyuanhong    时间: 2014-10-19 08:36
标题: 已知当 x∈[-1,1] 时｜ax^2+bx+c｜≤1 ，求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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作者: uk702    时间: 2020-11-14 19:24


一个不严谨但感觉对的分析。

首先，f 取得最值的地方有三个点 -1, 1, -b/2a，同样, g 取得最值的地方也有三个点，-1, 1, -b/2c。对于 -1 和 1这两个点，g 和 f 是一样的，故一定也是在 [-1, 1] 之间。

而对于 -b/2c 这个点，若 c>0，函数开口向上，只需考虑最小值（最大值一定在 -1 或 1这两个点上），现在显然无需再考虑 -1 和 1 这两个点了，因此，（想像中）最好的情况应该在 x=0 时取得最值。经检验，g=x^2-2（对应 f=-2x^2+1）是一个选择，g 的最小值为 -2。

因此，答案应该是 [-2, 2]，也就是 C。

好题！赞一个。也没想到台湾的题会这么难。


由于是选择题，结果应该没理由不是一个对称的区间，故 A、D 似可以立马排除。

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作者: uk702    时间: 2020-11-14 22:26


同#2，g 的最值有可能为三个点，-1, 1, -b/2c  这三个点，如果是 -b/2c 这个点还需要满足 abs(b/2c) ≤ 1。

由 |f(-1)|  ≤ 1 =〉 |a-b+c| ≤ 1，|f(1) ≤ 1=〉 |a+b+c| ≤ 1，|f(0)| ≤ 1=〉 |c| ≤ 1

如果我们能够证明：
命题：实数 a、b、c 满足 |a+b+c|≤ 1， |a-b+c| ≤ 1 ,  |c| ≤ 1, |b/2c|≤ 1时，|a-b^2/4c| 的最大值 = 2，则问题得以解决。
（计算机按 0.01 的步长遍历验证上述命题是成立的）

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作者: uk702    时间: 2020-11-15 08:49


见如图所述。

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作者: 黄绪励    时间: 2021-2-11 13:52


已知当 x∈[-1,1] 时｜ax^2+bx+c｜≤1 ，求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围

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作者: 波斯猫猫    时间: 2021-2-14 11:51


思路：（1）当x∈[-1,1]时，令f（x）=ax^2+bx+c，g（x）=cx^2+bx+a。
（2）由条件有｜f（0）｜=｜c｜≤1，｜f（-1）｜=｜a-b+c｜≤1，｜f（1）｜=｜a+b+c｜≤1。
所以，①-1≤c≤1，②-1≤a-b+c≤1，③-1≤a+b+c≤1。由②+③得，④-1≤a+c≤1。
（3）（从此加速）令⑤-r≤c-a≤t（r，t＞0），由④+⑤得，-（r+1）/2≤c≤（t+1）/2,而①-1≤c≤1，从而r=t=1，即-1≤c-a≤1（确界），或｜c-a｜≤1。
（4）由（1）有g（x）=f（x）+（c-a）（x^2-1），
所以｜g（x）｜=｜f（x）+（c-a）（x^2-1）｜≤｜f（x）｜+｜（c-a）｜.｜（x^2-1）｜
≤｜f（x）｜+｜c-a｜≤1+1=2，即｜g（x）｜≤2。
这就是说，当x∈[-1,1]时，g（x）=cx^2+bx+a之值落在区间C，即[-2,2]。

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作者: uk702    时间: 2021-3-9 15:59
某书上的证明。

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作者: uk702    时间: 2021-3-9 19:54
又某书上的证明。

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作者: 波斯猫猫    时间: 2021-3-11 17:42
（1）｜1-x0｜≤1→-1≤1-x0≤1→-2≤-x0≤0→0≤x0≤2.

（2）f（x）=ax^2+bx+c，g（x）=cx^2+bx+a都不一定是二次函数。

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作者: 炅耀123    时间: 2022-7-15 18:43
令x=1,|a+b+c|小于等于1。
令x=-1,|a-b+c|小于等于1
则-1-b小于等于a+c小于等于1-b，-1+b小于等于a+c小于等于1+b
两试相加得，-1小于等于a+c小于等于1恒成立
则1-b小于等于1且1+b小于等于1，即b=0
易得，|c|小于等于1，且|a+c|小于等于1
即-2小于等于a小于等于2
易知cx^2+a极值在x^2=0或1时取
分别带入，得-2小于等于cx^2+bx+c小于等于2

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作者: 炅耀123    时间: 2022-7-15 18:48

炅耀123 发表于 2022-7-15 18:43
令x=1,|a+b+c|小于等于1。
令x=-1,|a-b+c|小于等于1
则-1-b小于等于a+c小于等于1-b，-1+b小于等于a+c小于 ...

请教各位老师，用手机怎么发图片啊？

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