偶数2A的哥德巴赫猜想解值的条件与素对数量的近似计算方法

愚工688

偶数2A的哥德巴赫猜想解值的条件与素对数量的近似计算方法


中国古代的数学家对于余数定理早有研究,我们只要知道某数除以某几个素数（例如3、5、7）的各个余数，就可以求出满足余数条件的最小该数。这就是诸如韩信点兵那样的题目。
哥德巴赫猜想的解值也是类似问题。

把偶数M拆分的两个数可以表示成A±x,(M=2A),≤√(M-2)的所有素数为2、3、5、…、r；
依据艾氏筛法，其中能够形成素数对的A±x有下面两种情况：
a)：满足 A±x 不能被≤√(M-2)的所有素数为2、3、5、…、r 整除。这样的x值的数量记作 S1(m);
b)：满足 A+x 不能被≤√(M-2)的所有素数为2、3、5、 …、r 整除，而 A-x 等于≤√(M-2)的某个奇素数。这样的x值的数量记作 S2(m)。
偶数M表为两个素数和的全部表法数 S(m)= S1(m)+ S2(m). {式1}

1，符合条件a的素对A±x的解值x的余数条件

由于自然数中数在除以任意一个素数的余数呈现周期性变化：
除以2时的余数变化：0、1、0、1、0、1、…；
除以3时的余数变化：0、1、2、0、1、2、…；
除以5时的余数变化：0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、…；
……
除以r时的余数变化：0、1、2、…、r-2、r-1、0、…；

由给定偶数2A确定了A除以≤√(M-2)的所有素数的余数：j2、j3、j5、j7、…jr；

而对应了变量x的余数条件为与A的余数不构成同余关系，即
除以2，余数不等于j2；
除以3，余数不等于j3与（3-j3）；
除以5，余数不等于j5与（5-j5）；
除以7，余数不等于j7与（7-j7）；
……
在每个素数的周期性变化的余数中，排除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数。
而每个素数余数周期性变化之中，都有不与A的余数构成同余关系的余数，每个素数各取一个余数的组合，其对应数中处于[0，A-3]范围的数x，则即是哥猜解值，与A构成素对A±x。

处于[0，A-3]范围的全部满足不与A的余数构成同余关系的数x，能够构成全部的满足条件a的素数对A±x,这是没有误差的。
由于自然数除以任意素数的余数呈现周期性变化的基本特性决定的，而筛除部分与A的余数构成同余关系的余数后必然存在筛余的余数。
对除以√（2A）内的各个素数的余数中各取一个筛余数的组合，必然有一个实际的对应最小值，而使用中国剩余定理正是求出这个值的理论依据。
在自然数数列  0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…（K-1）  连续的k个数中，全部的满足不与A的余数构成同余关系的数x的数量是成比例的，依据连乘式可以无误差的计算。这里的K=π（r),
由于实际x的取值区域[0，A-3]的自然数数量是小于K的，因此由连乘式计算得到的满足不与A的余数构成同余关系的数的数量Sp(m)与实际的S1(m)数量会有一些计算偏差，但是误差也不大。这个计算的偏差不会妨害实际的满足不与A的余数构成同余关系的数x的存在，因而这样的x与A构成的素对A±x必然存在。

图例：满足条件a的x的数量Sp(m)与实际的S1(m)数量的对照图形：





例1，偶数100的x的对应余数条件
由偶数100的半值50除以2、3、5、7的余数条件50（j2=0,j3=2,j5=0,j7=1),
  可得出x的余数条件:x(y2=1,y3=0,y5≠0,y7≠1与6），
  即x的余数条件：2（1）、3（0）、5（1，2，3，4）、7（0，2，3，4，5），
它们有以下不同余数的20种组合：
（1,0,1,0),（1,0,1,2),（1,0,1,3),（1,0,1,4),（1,0,1,5);
（1,0,2,0),（1,0,2,2),（1,0,2,3),（1,0,2,4),（1,0,2,5);
（1,0,3,0),（1,0,3,2),（1,0,3,3),（1,0,3,4),（1,0,3,5);
（1,0,4,0),（1,0,4,2),（1,0,4,3),（1,0,4,4),（1,0,4,5);

运用中国剩余定理，每组不同的余数条件组合在素数连乘积内（此题即２×３×５×７＝210 个连续自然数中）对应于一个唯一的整数，有
（1,0,1,0)=21, （1,0,1,2)=51, （1,0,1,3)=171,（1,0,1,4)=81, （1,0,1,5)=201;
（1,0,2,0)=147,（1,0,2,2)=177,（1,0,2,3)=87, （1,0,2,4)=207,（1,0,2,5)=117;
（1,0,3,0)=63, （1,0,3,2)=93, （1,0,3,3)=3,  （1,0,3,4)=113,（1,0,3,5)=33;
（1,0,4,0)=189,（1,0,4,2)=9,  （1,0,4,3)=129,（1,0,4,4)=39, （1,0,4,5)=159;

其中处于x值取值区域[0，47]内的x值有：21，9，3，33，39，

把 x= : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 ——符合条件b)，代人A±x,得到符合条件a的全部素对：
[ 100 = ] 47 + 53，41 + 59，29 + 71，17 + 83，11 + 89，（3 + 97 ）
M= 100 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)≈ 4.571 δ1(m)≈-.086 K(m)= 1.33 r= 7
* Sp( 100)=[( 100/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 4.571


  
2，符合条件a的哥猜解值x的计算

   对于符合条件a的哥猜解值x,由于其取值区间内的数小于π(x)，不能满足所有素数循环节的完整性，因此
这样的x值的数量依据概率的乘法定理有：
Sp(m)= (A-2)× P(2·3·…·n·…·r)
     =(A-2)×P(2)P(3)…P(n)…P(r)
     =(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r). ----这是人们通常所称为“连乘式”的素对数量计算式。
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] ；jn系A除以n时的余数。

    这里使用的“概率素数连乘式计算”，只是计算取值区域内满足变量x的余数条件的数数量，当然与实际存在的素对数量会有一些小差别。有人认为通过概率连乘式的计算，计算出来的素数对数量就会变成虚幻的不确定的数，这也太荒谬了吧！

  偶数的全部哥猜{1+1}的解S(m)还要包括x能够满足条件b,即 A-x等于该素数的情况。
而满足条件b的x值的数量不具有计算特性，因而只能把它归入于连乘式的计算误差之中。


例2：
M= 120 ，A= 60 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ； A除以素数2，3，5，7的余数分别是j2=0，j3=0，j5=0，j7=4；在[0，57]区间里面同时满足：
x除以2的余数≠0、
x除以3的余数≠0、
x除以5的余数≠0、
x除以7的余数≠4与3
的x值实际有 x= : 1 ， 7， 13 ， 19 ， 23 ， 29 ， 37 ， 41 ，43 ， 47 ， 49 ，( 53 ) ——括号内是符合S2(m)条件的x值；
代入 M= （A-x ）+（ A+x ） 的模式，得到120的全部素对：
59 + 61 ，53 + 67，47 + 73， 41 + 79 ，37 + 83 ，31 + 89 ，23 + 97 ，19 + 101 ，17 + 103 ，13 + 107 ，11 + 109 ，7 + 113.
M=120 ，S(m)= 12 ，S1(m)= 11 ， Sp(m) ≈11.0476 ，δ1≈ 0.004 ，δ(m)≈ -0.079 ，K(m)= 2.67 ， r= 7
而x值的概率计算数量Sp( 120)的计算式子与相对误差δ(m)的计算式子分别为：
Sp( 120)=( 120/2- 2)/2*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)≈ 11.0476
与S1(m)的相对误差 :δ1=0.0476/11≈0.004
与S(m)的相对误差:δ(120)=(11.0476-12)/12=-0.9524/12 ≈ -0.079

例3：
偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ，
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然偶数的素对计算数量与实际素对真值完全一致的仅仅只是少数，大多数偶数的素对计算数量Sp(m)与实际素对真值S(m),或S1(m)都有一些偏差，有正偏差，也有负偏差，但是这个偏差是有限的。

偶数十万内不同区域的素对计算值Sp(m)的相对误差分布：

M=[ 6 , 100 ]            r= 7    n= 48    μ=-.2418 σχ= .2292 δmin=-.625  δmax= .3429
M=[ 6 , 10000 ]       r= 97   n= 4998  μ=-.075  σx= .0736  δmin=-.625  δmax= .3429
M=[ 10002 , 20000 ]   r= 139  n= 5000  μ=-.0315 σx= .0361  δmin=-.1603 δmax= .1017
M=[ 20002 , 30000 ]   r= 173  n= 5000  μ=-.0100 σx= .0288  δmin=-.1145 δmax= .1245  
M=[ 30002 , 40000 ]   r= 199  n= 5000  μ=-.0037 σx= .0263  δmin=-.1034 δmax= .1101
M=[ 40002 , 50000 ]   r= 223  n= 5000  μ= .005  σx= .0253  δmin=-.1021 δmax= .1131
M=[ 50002 , 60000 ]   r= 241  n= 5000  μ= .0082 σx= .0219  δmin=-.0688 δmax= .1064
M=[ 60002 , 70000 ]   r= 263  n= 5000  μ= .01   σχ= .02   δmin=-.068  δmax= .099
M=[ 70002 , 80000 ]   r= 281  n= 5000  μ= .01   σχ= .02   δmin=-.051  δmax= .101
M=[ 80002 , 90000 ]   r= 293  n= 5000  μ= .01   σχ= .02   δmin=-.06   δmax= .098
M=[ 90002 , 100000 ]  r= 313  n= 5000  μ= .0218 σχ= .0174 δmin=-.038  δmax= .112

可以看到，除了小偶数100以内的区域的相对误差分布比较离散，正负偏差的绝对值比较大外，其余偶数区域的相对误差的正负极值的差距基本是随偶数增大而逐渐缩小的。

愚工688

在每个素数的周期性变化的余数中，排除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数。

在自然数：[0，π（r）-1]这样的一个完整的循环节中，每个不同的余数组合都有唯一的解值。其中处于[0，A-3]范围的筛余余数组合的解值x就是该偶数的哥猜解值，构成素数对A±x 。

当然这样的偶数哥猜的解值不包含符合条件b的偶数素对，即A-x＜√(2A-2)。
偶数符合条件b的哥猜解值数量不具有可计算性。
例如：20002——40000内的 s2=0的偶数：
M= 21368      S(m)= 178   S1(m)= 178  , r= 139
M= 22832      S(m)= 180   S1(m)= 180  , r= 151
M= 23426      S(m)= 215   S1(m)= 215  , r= 151
M= 23456      S(m)= 179   S1(m)= 179  , r= 151
因此可以把符合条件b的素数对的数量当作计算误差来处理，其对连乘式计算值的相对误差的影响是很小的。

如以今天日期的百倍的连续偶数的素对计算的连乘式： （P(m)的展开即是素数连乘积）
inf( 2022041600 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041600 /2 -2)*p(m) ≈ 4321371.1
inf( 2022041602 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041602 /2 -2)*p(m) ≈ 3832929.8
inf( 2022041604 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041604 /2 -2)*p(m) ≈ 7184372.3
inf( 2022041606 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041606 /2 -2)*p(m) ≈ 3489238.3
inf( 2022041608 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041608 /2 -2)*p(m) ≈ 3490019
inf( 2022041610 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041610 /2 -2)*p(m) ≈ 8506921.3
inf( 2022041612 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041612 /2 -2)*p(m) ≈ 3190817.4
inf( 2022041614 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041614 /2 -2)*p(m) ≈ 3293925.8
inf( 2022041616 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041616 /2 -2)*p(m) ≈ 7732033.5
inf( 2022041618 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041618 /2 -2)*p(m) ≈ 3217534.3
inf( 2022041620 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041620 /2 -2)*p(m) ≈ 4253460.7
inf( 2022041622 ) = 1/(1+ .148 )*( 2022041622 /2 -2)*p(m) ≈ 6430795.5

具体的偶数素对下界计算值及相对误差：


G(2022041600) = 4350218；
inf( 2022041600 )≈  4321371.1 , Δ≈-0.00663,infS(m) = 3190095.47 , k(m)= 1.35462
G(2022041602) = 3858158；
inf( 2022041602 )≈  3832929.8 , Δ≈-0.00654,infS(m) = 3190095.48 , k(m)= 1.20151
G(2022041604) = 7230202；
inf( 2022041604 )≈  7184372.3 , Δ≈-0.00634,infS(m) = 3190095.48 , k(m)= 2.25209
G(2022041606) = 3511017；
inf( 2022041606 )≈  3489238.3 , Δ≈-0.00620,infS(m) = 3190095.48 , k(m)= 1.09377
G(2022041608) = 3512409；
inf( 2022041608 )≈  3490019.0 , Δ≈-0.00637,infS(m) = 3190095.49 , k(m)= 1.09402
G(2022041610) = 8563358；
inf( 2022041610 )≈  8506921.3 , Δ≈-0.00659,infS(m) = 3190095.49 , k(m)= 2.66667
G(2022041612) = 3211230；
inf( 2022041612 )≈  3190817.4 , Δ≈-0.00636,infS(m) = 3190095.49 , k(m)= 1.00023
G(2022041614) = 3314882；
inf( 2022041614 )≈  3293925.8 , Δ≈-0.00632,infS(m) = 3190095.5 , k(m)= 1.03255
G(2022041616) = 7780752；
inf( 2022041616 )≈  7732033.5 , Δ≈-0.00626,infS(m) = 3190095.5 , k(m)= 2.42376
G(2022041618) = 3238870；
inf( 2022041618 )≈  3217534.3 , Δ≈-0.00659,infS(m) = 3190095.5 , k(m)= 1.0086
G(2022041620) = 4281436；
inf( 2022041620 )≈  4253460.7 , Δ≈-0.00653,infS(m) = 3190095.51 , k(m)= 1.33333
G(2022041622) = 6472727；
inf( 2022041622 )≈  6430795.5 , Δ≈-0.00648,infS(m) = 3190095.51 , k(m)= 2.01586
time start =10:25:24  ,time end =10:26:17   ,time use =

愚工688

重生888@ 发表于 2022-4-17 23:28
愚工好！反复琢磨2022041600素数对计算式，是不是已避开了哈-李公式影子？如果是：
20220416000该怎么 ...

帖子中已经有了这些偶数的素数对的真值，那么计算值的计算精度应该容易计算的。

至于是不是已避开了哈-李公式影子？怎么说呢？
4楼中的数据，是我使用的是添加了修正系数的素数连乘式来计算的素对下界值。如果使用类似哈-李公式的计算式，应该也能够得到比较高精度的 计算值。（当然这个计算方法，目前还不能控制计算值在下限范围。）
计算实例：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(2022041600) = 4350218  ;Xi(M)≈ 4349341.62       jdz(M)≈? 0.999799;
  G(2022041602) = 3858158  ;Xi(M)≈ 3857738.97       jdz(M)≈? 0.999891;
  G(2022041604) = 7230202  ;Xi(M)≈ 7230874.11       jdz(M)≈? 1.000093;
  G(2022041606) = 3511017  ;Xi(M)≈ 3511822.8         jdz(M)≈? 1.000230;
  G(2022041608) = 3512409  ;Xi(M)≈ 3512608.69       jdz(M)≈? 1.000057;
  G(2022041610) = 8563358  ;Xi(M)≈ 8561983.67       jdz(M)≈? 0.999840;
  G(2022041612) = 3211230  ;Xi(M)≈ 3211470.27       jdz(M)≈? 1.000075;
  G(2022041614) = 3314882  ;Xi(M)≈ 3315246            jdz(M)≈? 1.000011;
  G(2022041616) = 7780752  ;Xi(M)≈ 7782080.06       jdz(M)≈? 1.000171;
  G(2022041618) = 3238870  ;Xi(M)≈ 3238360.12       jdz(M)≈? 0.999843;
  G(2022041620) = 4281436  ;Xi(M)≈ 4280991.85       jdz(M)≈? 0.999896;
  G(2022041622) = 6472727  ;Xi(M)≈ 6472419.45       jdz(M)≈? 0.999952;
  G(2022041624) = 3211505  ;Xi(M)≈ 3210743.82       jdz(M)≈? 0.999763;
  G(2022041626) = 3568487  ;Xi(M)≈ 3568237.9         jdz(M)≈? 0.999930;
  G(2022041628) = 6534718  ;Xi(M)≈ 6534145.59       jdz(M)≈? 0.999912;
  G(2022041630) = 5190982  ;Xi(M)≈ 5191265.97       jdz(M)≈? 1.000055;

  time start =22:25:06, time end =22:25:53

愚工688

重生888@ 发表于 2022-4-17 07:38
G｛2022041624｝=？          D｛2022041624｝=3174244
G｛2022041626｝ =？         D｛2022041626｝ =31 ...

G(2022041624) = 3211505      D｛2022041624｝=3174244 ,jd(N)≈? 0.9884;
G(2022041626) = 3568487      D｛2022041626｝=3174244 ,jd(N)≈? 0.8895;
G(2022041628) = 6534718      D｛2022041628｝=6348489 ,jd(N)≈? 0.9715;  

可以看到，你的计算方法的计算值精度的稳定性不是很好。

愚工688

偶数的素数对的计算示例只是演示计算式的可靠性，而不是证明猜想的必然性。
要证明猜想的成立，必须建立在数学的基本规律之上。
余数定理就是其中一个重要的基本规律。

在周期性变化的余数中，排除了与偶数半值A的余数构成同余关系的各个素数的余数后，必然剩余其它的各个余数。
从除以各个素数的剩余余数中各取一个余数的组合，则对应于一个最小整数解，使用中国剩余定理可以解得。而其中处于[0，A-3]中的值x则构成偶数2A的哥猜解值A±x 。

而偶数素对数量的计算，常用的有素数连乘式的计算方法，以及依据素数定理的对数计算式，即哈代-李德伍兹计算式。两个计算式具有不同的优劣性。

素数连乘式的计算方法，依据于埃拉托色尼的判断素数定理。那么该计算式的计算精度怎么样呢？
一般的讲，连乘式的计算精度，在偶数一亿以下时的平均精度，要优于哈-李计算式，并且它的计算值连线折线随偶数素对真值变化的对比是相似度比较高的。
示例：偶数250-500的素对计算值与真值的比较折线：


缺点：对于大偶数，由于连乘式使用了√M内的素数做因子，因此大量的素因子的使用，必然带来了计算速度上的缓慢；

而哈-李计算式，若仅仅是计算大偶数素对数量的下限，则由于是对数计算，计算速度将是快捷的，并且与真值的相对误差，是趋近于0的，这是哈代已经证明的，故哈-李计算式通常称为渐近式。
而若要计数偶数N全部的素对数量，由于计算式中的拉曼扭杨系数中含有N以下的全部素数，故哈-李计算式的这部分波动系数的计算将比连乘式的计算更繁复。

但是数学家自己也说了，计算式不是证明猜想成立的必然性。
证明猜想的成立，必须建立在数学的基本规律之上。
余数定理就是其中一个重要的基本规律。

如果把偶数2A的素对写成：{A-x,+,A +x}，那么任意偶数2A的素对就可以看作一个变量x与偶数半值A之间的余数对应关系。
自然数列  0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、……
在除以任意素数的余数都是周期性变化的，
除以2时的余数变化：0，1，0，1，……
除以3时的余数变化：0，1，2，0，1，2，……
除以5时的余数变化：0，1，2，3，4，0，1，2，3，4，……
除以7时的余数变化：0，1，2，3，4，5，6，0，1，2，3，4，5，6，……
……

由给定偶数2A确定了A除以≤√(M-2)的所有素数的余数：j2、j3、j5、j7、…jr；
而对应变量x的余数条件为与A的余数不构成同余关系，即
除以2，余数不等于j2；
除以3，余数不等于j3与（3-j3）；
除以5，余数不等于j5与（5-j5）；
除以7，余数不等于j7与（7-j7）；
……
在每个素数的周期性变化的余数中，排除了与A的余数构成同余关系的余数后，必然有筛余的余数。
而每个素数余数周期性变化之中，都有不与A的余数构成同余关系的余数，由≤√(M-2)的各个素数的余数中各取一个余数的组合，其对应数中处于[0，A-3]范围的数x，则即是哥猜解值，与A构成素对A±x。
这是建立在自然数除以素数的余数变化的基本规律性上面的，是不容质疑的。


素数连乘式的各个步骤的含义举例：

例：偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体每一步的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)
        =[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ,x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

愚工688

偶数的真实素对数量是筛选得出的，是没有误差的；
而通过计算式得到的计算值与真值之间绝大多数具有一定的误差。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(888888882) = 3725179   ;Xi(M)≈ 3727160.34   infS(m)=  1533073.43  δxi(M)≈?  0.000532;
  G(888888884) = 1673766   ;Xi(M)≈ 1672443.72   infS(m)=  1533073.41  δxi(M)≈? -0.000790;
  G(888888886) = 1531674   ;Xi(M)≈ 1533073.44   infS(m)=  1533073.44  δxi(M)≈?  0.000913;
  
  G(999999992) = 1706569   ;Xi(M)≈ 1707495.58   infS(m)=  1704066.874 δxi(M)≈?  0.000543;
  G(999999994) = 2044282   ;Xi(M)≈ 2044880.33   infS(m)=  1704066.942 δxi(M)≈?  0.000293;
  G(999999996) = 3407072   ;Xi(M)≈ 3408133.83   infS(m)=  1704066.915 δxi(M)≈?  0.000311;
  time start =15:19:38, time end =15:19:44

愚工688

重生888@ 发表于 2022-5-10 06:00
预计：
D（66666662）=150891
D（66666664）=150891            不知那先生K=？

G(66666662) = 152526
G(66666664) = 152847
G(66666666) = 351040
G(66666668) = 161873

G(77777772) = 353329
G(77777774) = 180308
G(77777776) = 175183
G(77777778) = 381782

素对下界连乘式计算式：
inf( 66666662 ) = 1/(1+ .13 )*( 66666662 /2 -2)*p(m) ≈ 151073.8 ；Δ≈-0.00952；
inf( 66666664 ) = 1/(1+ .13 )*( 66666664 /2 -2)*p(m) ≈ 151194.8 ；Δ≈-0.01081；
inf( 66666666 ) = 1/(1+ .13 )*( 66666666 /2 -2)*p(m) ≈ 346434.3 ；Δ≈-0.01312；
inf( 66666668 ) = 1/(1+ .13 )*( 66666668 /2 -2)*p(m) ≈ 160312.8 ；Δ≈-0.00964；

inf( 77777772 ) = 1/(1+ .13 )*( 77777772 /2 -2)*p(m) ≈ 349844.4 ；Δ≈-0.00986；
inf( 77777774 ) = 1/(1+ .13 )*( 77777774 /2 -2)*p(m) ≈ 178156    ；Δ≈-0.01194；
inf( 77777776 ) = 1/(1+ .13 )*( 77777776 /2 -2)*p(m) ≈ 173207.3 ；Δ≈-0.01128；
inf( 77777778 ) = 1/(1+ .13 )*( 77777778 /2 -2)*p(m) ≈ 377906.8 ；Δ≈-0.01015；

式中：P(m)= P(2·3·…·n·…·r)
                  =P(2)·P(3)·…·P(n)·…·P(r)
                  =0.5·f(3)·…·f(n)·…·f(r).
其中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。

素数连乘式也可变形成另外一种形式：P(m)=0.5×π(1-2/p)π[(p1-1)/(p1-2)]，

愚工688

重生888@ 发表于 2022-5-11 01:43
谢谢愚工先生数据！看了愚工先生和那先生的几个数据，感到很欣慰！因为大家都在往哥猜计算方向努力！不管 ...

800000000:100:2

G(800000000) = 1859646
G(800000002) = 1394175
G(800000004) = 2789860
G(800000006) = 1522021
G(800000008) = 1486995
G(800000010) = 3718072
G(800000012) = 1738253
G(800000014) = 1593204
G(800000016) = 2957783
G(800000018) = 1394645
G(800000020) = 1895633
G(800000022) = 2797279
G(800000024) = 1396755
G(800000026) = 1698377
G(800000028) = 2788333
G(800000030) = 1948157
G(800000032) = 1577577
G(800000034) = 2790158
G(800000036) = 1628123
G(800000038) = 1396894
G(800000040) = 4459908
G(800000042) = 1486587
G(800000044) = 1405556
G(800000046) = 2804478
G(800000048) = 1397223
G(800000050) = 1888677
G(800000052) = 2823346
G(800000054) = 1780390
G(800000056) = 1395300
G(800000058) = 3398438
G(800000060) = 1859392
G(800000062) = 1404995
G(800000064) = 2789782
G(800000066) = 1425532
G(800000068) = 1676448
G(800000070) = 3718192
G(800000072) = 1403899
G(800000074) = 1442974
G(800000076) = 3117931
G(800000078) = 1394719
G(800000080) = 2066658
G(800000082) = 3360120
G(800000084) = 1520681
G(800000086) = 1395180
G(800000088) = 2886241
G(800000090) = 1940208
G(800000092) = 1477211
G(800000094) = 2823158
G(800000096) = 1672611
G(800000098) = 1395177
G(800000100) = 3777779
G(800000102) = 1548976
G(800000104) = 1396514
G(800000106) = 2794614
G(800000108) = 1393967
G(800000110) = 2597103
G(800000112) = 2787558
G(800000114) = 1406359
G(800000116) = 1445303
G(800000118) = 2861353
G(800000120) = 1859218
G(800000122) = 1496543
G(800000124) = 3716440
G(800000126) = 1422355
G(800000128) = 1408424
G(800000130) = 3952791
G(800000132) = 1394532
G(800000134) = 1394569
G(800000136) = 3196490
G(800000138) = 1696474
G(800000140) = 1870774
G(800000142) = 2789123
G(800000144) = 1489777
G(800000146) = 1548564
G(800000148) = 2927480
G(800000150) = 1861795
G(800000152) = 1673198
G(800000154) = 2787622
G(800000156) = 1394118
G(800000158) = 1395075
G(800000160) = 3802774
G(800000162) = 1569545
G(800000164) = 1395119
G(800000166) = 3348120
G(800000168) = 1749699
G(800000170) = 1868588
G(800000172) = 2798622
G(800000174) = 1411423
G(800000176) = 1409604
G(800000178) = 2998538
G(800000180) = 2234232
G(800000182) = 1394588
G(800000184) = 2790473
G(800000186) = 1396044
G(800000188) = 1522195
G(800000190) = 4130685
G(800000192) = 1395142
G(800000194) = 1691141
G(800000196) = 2788447
G(800000198) = 1444997

count = 100, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.248 sec

愚工688

重生888@ 发表于 2022-5-11 01:43
谢谢愚工先生数据！看了愚工先生和那先生的几个数据，感到很欣慰！因为大家都在往哥猜计算方向努力！不管 ...

900000000:150:2

G(900000000) = 4132595
G(900000002) = 1724113
G(900000004) = 1550567
G(900000006) = 3099095
G(900000008) = 1550273
G(900000010) = 2705849
G(900000012) = 3146839
G(900000014) = 1548864
G(900000016) = 1559399
G(900000018) = 3290846
G(900000020) = 2125729
G(900000022) = 1557092
G(900000024) = 4133757
G(900000026) = 1675012
G(900000028) = 1628017
G(900000030) = 4131501
G(900000032) = 1550001
G(900000034) = 1549524
G(900000036) = 3506343
G(900000038) = 1859783
G(900000040) = 2101486
G(900000042) = 3193275
G(900000044) = 1550753
G(900000046) = 1725605
G(900000048) = 3099169
G(900000050) = 2067801
G(900000052) = 1859832
G(900000054) = 3105182
G(900000056) = 1651522
G(900000058) = 1550503
G(900000060) = 4559888
G(900000062) = 1782092
G(900000064) = 1571434
G(900000066) = 3737068
G(900000068) = 1722972
G(900000070) = 2068586
G(900000072) = 3100579
G(900000074) = 1656366
G(900000076) = 1552704
G(900000078) = 3101385
G(900000080) = 2480388
G(900000082) = 1550444
G(900000084) = 3099176
G(900000086) = 1583275
G(900000088) = 1691729
G(900000090) = 4593130
G(900000092) = 1565873
G(900000094) = 2179483
G(900000096) = 3100862
G(900000098) = 1551036
G(900000100) = 2101099
G(900000102) = 3239736
G(900000104) = 1550917
G(900000106) = 1549996
G(900000108) = 3718502
G(900000110) = 2065696
G(900000112) = 1737699
G(900000114) = 3385825
G(900000116) = 1551881
G(900000118) = 1573036
G(900000120) = 4330465
G(900000122) = 1932823
G(900000124) = 1548846
G(900000126) = 3102407
G(900000128) = 1665580
G(900000130) = 2083394
G(900000132) = 3281849
G(900000134) = 1722638
G(900000136) = 1913815
G(900000138) = 3126310
G(900000140) = 2257300
G(900000142) = 1550248
G(900000144) = 3133863
G(900000146) = 1580738
G(900000148) = 1588456
G(900000150) = 4958468
G(900000152) = 1608025
G(900000154) = 1552429
G(900000156) = 3443658
G(900000158) = 1559303
G(900000160) = 2101473
G(900000162) = 3309207
G(900000164) = 1861130
G(900000166) = 1783468
G(900000168) = 3100567
G(900000170) = 2188086
G(900000172) = 1550227
G(900000174) = 3099172
G(900000176) = 1550262
G(900000178) = 2065653
G(900000180) = 4226966
G(900000182) = 1550292
G(900000184) = 1645861
G(900000186) = 3133608
G(900000188) = 1549720
G(900000190) = 2069038
G(900000192) = 4057847
G(900000194) = 1549455
G(900000196) = 1653293
G(900000198) = 3129937
G(900000200) = 2305285
G(900000202) = 1558758
G(900000204) = 3099928
G(900000206) = 1860166
G(900000208) = 1696196
G(900000210) = 4480418
G(900000212) = 1623607
G(900000214) = 1557129
G(900000216) = 3100700
G(900000218) = 1711315
G(900000220) = 2480363
G(900000222) = 3501157
G(900000224) = 1549885
G(900000226) = 1551037
G(900000228) = 3113726
G(900000230) = 2220691
G(900000232) = 1581295
G(900000234) = 3810887
G(900000236) = 1550210
G(900000238) = 1550165
G(900000240) = 4133962
G(900000242) = 1549204
G(900000244) = 1887447
G(900000246) = 3412421
G(900000248) = 1860974
G(900000250) = 2067638
G(900000252) = 3126581
G(900000254) = 1558247
G(900000256) = 1549434
G(900000258) = 3270688
G(900000260) = 2095775
G(900000262) = 1877154
G(900000264) = 3306641
G(900000266) = 1767575
G(900000268) = 1611313
G(900000270) = 4509078
G(900000272) = 1550385
G(900000274) = 1583550
G(900000276) = 3719310
G(900000278) = 1575801
G(900000280) = 2098371
G(900000282) = 3100998
G(900000284) = 1688909
G(900000286) = 1549656
G(900000288) = 3466694
G(900000290) = 2478542
G(900000292) = 1553638
G(900000294) = 3144076
G(900000296) = 1691989
G(900000298) = 1653429

count = 150, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.366 sec

愚工688

我的计算实例：

计算式：Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ;（式中： t2=1.358-(log(M))^(.5)*0.05484，C1——类拉曼扭杨系数）

  G(900000050) = 2067801   ;Xi(M)≈ 2068021.67   infS(m)=  1550262.178 δxi(M)≈? 0.00011;
  G(900000052) = 1859832   ;Xi(M)≈ 1860314.64   infS(m)=  1550262.2   δxi(M)≈? 0.00026;
  G(900000054) = 3105182   ;Xi(M)≈ 3106864.95   infS(m)=  1550262.205 δxi(M)≈? 0.00054;
  G(900000056) = 1651522   ;Xi(M)≈ 1650624.24   infS(m)=  1550262.211 δxi(M)≈?-0.00054;
  G(900000058) = 1550503   ;Xi(M)≈ 1550262.18   infS(m)=  1550262.18  δxi(M)≈?-0.00016;
  G(900000060) = 4559888   ;Xi(M)≈ 4561851.28   infS(m)=  1550262.176 δxi(M)≈?-0.00004;
  G(900000062) = 1782092   ;Xi(M)≈ 1782024.01   infS(m)=  1550262.128 δxi(M)≈?-0.00004;
  G(900000064) = 1571434   ;Xi(M)≈ 1572096.93   infS(m)=  1550262.25  δxi(M)≈? 0.00042;
  G(900000066) = 3737068   ;Xi(M)≈ 3737165.54   infS(m)=  1550262.254 δxi(M)≈? 0.00006;
  G(900000068) = 1722972   ;Xi(M)≈ 1722513.57   infS(m)=  1550262.213 δxi(M)≈?-0.00027;
  G(900000070) = 2068586   ;Xi(M)≈ 2069428.12   infS(m)=  1550262.149 δxi(M)≈?-0.00002;
  G(900000072) = 3100579   ;Xi(M)≈ 3100524.41   infS(m)=  1550262.205 δxi(M)≈?-0.00002;
  G(900000074) = 1656366   ;Xi(M)≈ 1656264.61   infS(m)=  1550262.243 δxi(M)≈?-0.00006;
  G(900000076) = 1552704   ;Xi(M)≈ 1554604.75   infS(m)=  1550262.279 δxi(M)≈? 0.00122;
  G(900000078) = 3101385   ;Xi(M)≈ 3103325.21   infS(m)=  1550262.187 δxi(M)≈? 0.00063;
  G(900000080) = 2480388   ;Xi(M)≈ 2480419.5    infS(m)=  1550262.188 δxi(M)≈? 0.00001;
  time start =19:40:20, time end =19:40:48