已知 a,b,c 为三相异有理数，试证 1/(b-c)^2+1/(c-a)^2+1/(a-b)^2 为完全平方数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/03/23 03:59pm 第 1 次编辑]

三数相异,保证分母不为0 .为简便运算,以下换元:
令x=b-c
  y=c-a
  z=a-b
则题目变成已知:x,y,z为有理数,且x+y+z=0,求证:1/x^2+1/y^2+1/z^2为完全平方数
事实上:可看出这个分式的分母是个完全平方.
而分子=(x^2y^2)+(y^2z^2+z^2x^2)
      =(x^2y^2)+(x^2+y^2)z^2
将z=-x-y代入上式,得:
分子=(x^2y^2)+(x^2+y^2)(-x-y)^2
    =(x^2y^2)+(x^2+y^2)(x+y)^2
    =x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4
    =(x^2+xy+y^2)^2
它是一个完全平方.
而a,b,c是有理数,所以原命题成立.

luyuanhong

楼上 drc2000 的解答很好！我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地。”

概率考

1/x^2+1/y^2+1/z^2=(1/x+1/y+1/z)^2-2(1/xy+1/yz+1/xz)=(1/x+1/y+1/z)^2-2(x+y+z)/xyz=(1/x+1/y+1/z)^2

drc2000

下面引用由概率考在 2013/03/23 07:46pm 发表的内容：
1/x^2+1/y^2+1/z^2=(1/x+1/y+1/z)^2-2(1/xy+1/yz+1/xz)=(1/x+1/y+1/z)^2-2(x+y+z)/xyz=(1/x+1/y+1/z)^2

1/x^2+1/y^2+1/z^2=(1/x+1/y+1/z)^2-2(1/xy+1/yz+1/xz)=(1/x+1/y+1/z)^2-2(x+y+z)/xyz=(1/x+1/y+1/z)^2
最后一步巧妙地应用x+y+z=0,聪明~~