设 x^3+2x^2+3x+4=0 的三个根为 α,β,γ ，求 α^5+β^5+γ^5

luyuanhong · 发表于 2013-3-25 21:50

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/03/25 09:52pm 第 1 次编辑]

风花飘飘 · 发表于 2013-3-25 21:53

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drc2000 · 发表于 2013-3-25 22:12

下面引用由luyuanhong在 2013/03/25 09:50pm 发表的内容：

太巧妙了.
一次性解决了一大类问题.
要是我做,只有把α^5+β^5+γ^5写成轮换对称的表达式了...

概率考 · 发表于 2013-3-26 15:44

我的简单做法：设a(n)=x^n+y^n+z^n,则a(n+3)=(x+y+z)a(n+2)-(xy+yz+xz)a(n+1)+xyza(n),由韦达定理得
a(n+3)=-2a(n+2)-3a(n+1)-4a(n),结合 a1=-2,a2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=-2,a3=x^3+y^3+z^3=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3(xy+yz+xz)]+3xyz=-2,
所以 a4=-2a3-3a2-4a1=18,
a5=-2a4-3a3-4a2=-22

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