[讨论]对陆教授三元数模型的建议

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/08/28 00:45am 第 3 次编辑]

看过陆教授的三元数模型，十分佩服。
但美中不足的是，它的模的定义和通常的立体几何不同。
空间中一个点到原心的距离应是d=(x^2+y^2+z^2)^0.5，我认为这样定义模才能和通常的立体几何或立体解释几何配合，三元数理论才有较大的用途。
另外，陆教授认为0因子不重要，该条件可以放弃。我倒是认为，交换律是不重要的，可以放弃。很多运算都不满足交换律，例如矩阵相乘。
一般来说，满足交换律的是两个标量相乘。复数之所以能满足交换律，是因为单个虚数单位恰好能和实数单位对应。如x=a+bi，a的单位是1，可以和i单位对应。
而在三元数或三维向量中，这种简单的对应关系不存在。例如x=a+bi+cj，a的单位是1,它到底和i对应还是和j对应？显然是说不清的。
我认为，合理的三元数定义应是x=ai+bj+ck，即每一个方向都是矢量。如果写成x=a+bi+cj，那就是标量和矢量的混合，仅仅在二维平面内成立，x=a+bi相当于a中隐含了一个矢量单位。但在三维矢量中，这种隐含不再有效，还会产生大量的逻辑混乱。
我们甚至可以定义i*j=k，j*i=-k。这是按右手定则原理。i*j代表四指由i向j方向旋转，大拇指方向就是k的方向。同理，j*k=i，k*i=j。右手定则是物理学上的常用定则。另外定义j*j=-i，k*k=-j，i*i=-k。这样和复数情况对应。
不知陆教授认为我这个定义可行否？

qingjiao

这个论坛怎么调整字体大小？我调了几次都没有变化？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/28 07:28am 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/08/28 00:41am 发表的内容：
看过陆教授的三元数模型，十分佩服。
但美中不足的是，它的模的定义和通常的立体几何不同。
空间中一个点到原心的距离应是d=(x^2+y^2+z^2)^0.5，我认为这样定义模才能和通常的立体几何或立体解释几何配合，三元　...

你好！很高兴看到你对三元数感兴趣，对你的问题回答如下：
（1）在我提出的三元数中，除了模以外，还定义了一种“范数”：
          ‖a+bi+cj‖=√(a^2+b^2+c^2)
从几何上看，如果三元数 a+bi+cj 代表三维直角坐标系中的一个点 (a,b,c) ,
那么，范数‖a+bi+cj‖=√(a^2+b^2+c^2) 就是这个点到坐标原点的距离。
（2）你建议的那种不满足交换律的三元数，其实就是 Hamilton 提出的四元数
   a+bi+cj+dk ，其中 i^2=j^2=k^2=-1 ,ij=k=-ji ,jk=i=-kj ,ki=j=-ik ，
取出四元数中不包括实部 a 的后面的一部分 bi+cj+dk ，作为三元数来使用。
这种不满足交换律的三元数，确实很有用。其实，在解析几何中和物理学中，
人们早就在使用这种三元数了。
（3）截取 Hamilton 四元数得到不满足交换律的三元数，虽然在实际中很有用，
但是，从纯数学的角度来看，这种三元数毕竟不太完美，它的运算，无法进一步推广
到开方、指数、对数、三角函数等等。所以，人们又想到要提出其他类型的三元数，
我提出的满足交换律和结合律的三元数，不过是其中的一种。我这种三元数，确实
不如截取 Hamilton 四元数得到的三元数那么实际有用，只是从纯数学的角度看来，
似乎比较漂亮、比较完美而已。  

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/28 07:28am 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2010/08/28 00:45am 发表的内容：
这个论坛怎么调整字体大小？我调了几次都没有变化？

要使得一段文字放大，可以在这段文字前面加“”,
在这段文字后面加“”。

luyuanhong

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/08/28 01:20pm 第 1 次编辑]


谢谢陆教授！我的建议仅是凭直觉提的，可能有不当之处。
几个问题：
1.是Hamilton的四元数不能开方、指数、对数、三角函数，还是截取其后三元后不能开方、指数、对数、三角函数？原因是什么？能否改变一下这些运算的定义使之符合？例如复数开方、乘方的定义也和实数不同。
2.关于模和范数，这两个概念的含义和应用有什么不同？即什么时候适用模的概念，什么时候适用范数的概念？陆教授的模型中为何要这样定义三元数的模？起什么作用？
3.关于Hamilton的四元数，是否有简明的介绍材料下载？
4.白烁星等提出的三元数，一定条件下满足交换律（还是分配律？记不清了），陆教授认为他们的定义合理否？应用前景如何？

qingjiao

最后一个问题：
我建议的模型似乎和Hamilton的后三元有所不同。我定义j*j=-i，而不是-1。按照Hamilton的定义，会出现两个矢量相乘得一个标量（纯实数）的情形，我认为不太合理。按我的定义，矢量相乘始终是矢量，只是不知道这些定义有没有互相矛盾之处？请陆教授帮忙检验一下。谢谢！

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/08/28 01:34pm 第 1 次编辑]


在物理学中，确定一个质点的运动轨迹需要空间坐标和时间坐标；确定多个质点的运动轨迹还需要加上这些质点的质量，因为它们之间可能存在相互作用。
其中质量可以肯定是标量，在公式中它一般不会独立出现，而是附着于矢量之中，例如动量mv，当然也可能附着于其他标量之中，例如动能0.5mv^2。时间是矢量还是标量可能有争论，但一般可当它标量，同样地，它不会独立出现，也是附着于其他矢量或标量之中。
这是我对矢量和标量数学物理性质的某种理解，请陆教授指正。

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2010/08/28 11:17am 发表的内容：
谢谢陆教授！我的建议仅是凭直觉提的，可能有不当之处。
几个问题：
1.是Hamilton的四元数不能开方、指数、对数、三角函数，还是截取其后三元后不能开方、指数、对数、三角函数？原因是什么？能否改变一下这些运算的定义使之符合？例如复数开方、乘方的定义也和实数不同。
2.关于模和范数，这两个概念的含义和应用有什么不同？即什么时候适用模的概念，什么时候适用范数的概念？陆教授的模型中为何要这样定义三元数的模？起什么作用？
3.关于Hamilton的四元数，是否有简明的介绍材料下载？
...

（1）在我给出的满足交换律和结合律的三元数中“模”与“范数”各有不同的用处：
“模”可以用来判别一个三元数是不是一个零因子，x 是零因子的充要条件是它的模等于零。
另外，模还可以用来表达三元数乘、除、乘方、开方的一些运算性质：
｜xy｜=｜x｜｜y｜ ，｜x/y｜=｜x｜/｜y｜，｜x^n｜=｜x｜^n ，｜x^(1/n)｜=｜x｜^(1/n) 。
“范数”可以用来判别一个三元数是不是等于零，x 是零的充要条件是它的范数等于零。
同时，对范数来说，成立三角不等式 ‖x‖+‖y‖≥‖x+y‖，有明确的几何意义。
          （参看第 5 楼中我的帖子“三元数的模和范数”）
（2）在你建议的三元数中，定义 j*j=-i ，k*k=-j ，i*i=-k ，确实与 Hamilton 四元数
定义 i*i=j*j=k*k=-1 ，是不一样的，这一点，我在前面的帖子中没有注意到。
    但是，按照你的定义，在你建议的三元数中，不仅交换律不成立，而且结合律也不成立。
例如：(i*i)*i=-k*i=-j ，i*(i*i)=i*(-k)=-i*k=-(-j)=j ，可见 (i*i)*i≠i*(i*i) 。
又例如：(i*j)*k=k*k=-j ，i*(j*k)=i*i=-k ，可见 (i*j)*k≠i*(j*k) 。
    而按照 Hamilton 四元数的定义，在四元数中，虽然交换律不成立，但结合律却是成立的。
例如：(i*i)*i=-1*i=-i ，i*(i*i)=i*(-1)=-i ，显然有 (i*i)*i=i*(i*i) 。
又例如：(i*j)*k=k*k=-1 ，i*(j*k)=i*i=-1 ，显然有 (i*j)*k=i*(j*k) 。
（3）我在前面帖子中说：“这种三元数毕竟不太完美，它的运算，无法进一步推广到开方、指数、
对数、三角函数等等”指的是截取 Hamilton 四元数得到的三元数，不是指 Hamilton 四元数。
Hamilton 四元数本身，是可以推广的。把 Hamilton 四元数截取成为三元数后，在这种三元数中，
乘法、除法都不封闭（即运算后不一定是三元数），当然更谈不上开方、指数、对数、三角函数了。
（4）关于 Hamilton 的四元数，在下列书中，有一个简要的介绍：
   菲利克斯·克莱因著：《高观点下的初等数学（第一卷）算术 代数 分析》第一部分§4.2,§4.3 。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2010/08/30 11:06am 第 2 次编辑]


谢谢陆教授指点！
不过，既然截取四元数的三元数有那么多问题，人们为什么还使用它呢？这种三元数在解释几何和物理学上还有很大用途吗？
另外，既然陆教授的三元数满足的定律最多，能作的运算也最多，怎么又说它的应用上没有那种截取的三元数实用呢？