每张彩券上都有一个正整数，要使 n 张彩券中必有 3 个数之和为 3 的倍数，n 至少为几?

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  每张彩券上都有一个正整数，要使 n 张彩券中必有 3 个数之和为 3 的倍数，n 至少为几？

解  所有的整数，按照除以 3 所得的余数的不同，可以分为 3 类，称为“模 3 同余类”。

    这 3 个同余类，可以用 1,2,3 作为代表。

    当 n=4 时，彩券上 4 个数中不一定能找到 3 个数之和为 3 的倍数，例如 1,1,2,2 就是这样。

    当 n=5 时，彩券上 5 个数中一定能找到 3 个数之和为 3 的倍数，这一点可以证明如下：

    如果 5 个数中，3 个同余类的数都有，只要从 3 个同余类中各取一个数，这 3 个数之和必定

是 3 的倍数。例如，取到 3 个数为 1、2、3 ，则 1+2+3=6 就是 3 的倍数。

    如果 5 个数中，至多只有 2 个同余类的数，则必有一个同余类，其中数的个数大于 5 的一半，

即至少包含 3 个数，将这 3 个数取出，它们相加之和必定是 3 的倍数。例如 1+1+1=3 ，2+2+2=6 ，

3+3+3=9 都是 3 的倍数。

    可见，满足要求的 n 的最小值是 5 。