抄本数学题

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网上搜得一古书，不知是油印本还是手抄本，姑认为是抄本吧。里面不少几何题，颇有几分意思，趁还未开学，陆续剪辑贴出。鄙虽不才，略知古人文法，训义释题，是所不辞。如下，

释题：方，正方形。方面，正方形边长。问小，问小圆直径。
释图：图中大半，指大半圆。小圆切大半圆和两四分之一圆弧。

释题：大三寸，指大半圆直径为三寸。问中，问中圆直径。
释图：图中大半，指大半圆。两小等圆，切两大半圆，两中等圆（图手绘，未见准确）切两大半圆及小圆及矩形长。

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永远 发表于 2018-2-28 00:00
老师分享的趣味几何题，很有趣，敢问此书名字？

奇题算术。
欢迎用现代软件作图并求解。

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关于问题一的处理。

设正方形边长为a,小圆半径为x,依据原图中的直角三角形，
可列出方程(a-x)^2-(a/2+x)^2=(a/2)^2,
解出x=a/6.
所以原题问小圆直径为2x=a/3=1寸。

关于问题一的延展。

如图，在这圆左右做与两四分之一圆弧及正方形侧边相切的圆，这三圆相等。
对这个断言，要做以下三角形通过方程(a+x)^2-(a-x)^2=(a-x)^2-x^2解出x=a/6.

作为关于问题一的练习，请有兴趣的网友计算"与两四分之一圆弧及正方形上（下）边相切的圆径"。

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关于第二题的处理：

因为原图的对称性，只要考虑其左上角（四分之一部分）的情况。如图

设大圆半径为a,中圆半径为x，小圆半径为y，作如图蓝色三角形，根据勾股关系，可列方程组
①　2x+2y=a
② (a+x)^2-(a+y)^2=(a-x)^2-y^2
化简②可得③　4x-2y=a 联立　①　可解出 x=a/3.
若大圆直径为三寸，即2a=3,则中圆直径2x=1寸。

关于第二题的进一步认识

从方程组的解答来看，本题的图形是特殊的，中小圆径的比是 2∶1, 矩形的长和宽的比是 2∶√3。事先没有这些结论，要准确作图是很困难的。