将数系从复平面扩展至三维等高维数空间完全可能

伐木道人

今天突然在数学吧看到了这个许多人看过的帖子，关于有没有复数以外的数，不妨建议大家看看人民教育出版社课程所网站的这几篇论文再来发表意见不晚：。http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/gzsxjscg/201012/t20101227_993192.htm，这是球坐标三元数理论；。http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/gzsxjscg/201012/t20101210_985645.htm，这是广义球坐标无穷元数、n元数理论；。http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/gzsxjscg/201111/t20111104_1078622.htm，这是新理论的具体应用，从无穷维空间、n维数空间的高度，对代数基本定理做出的清晰而简明的证明，认真看过这三篇论文，读者一般就会不得不承认：
正如当年高斯所言：复数可以有无穷多个等级，即复数不可能是最终的完备的数系.他把那些比复数还要复数的数称为：“vera umbrae umbra”，可译作“虚之又虚的数”.1819年Gauss撰写了三元数论文，尝试建立能够描述空间三个方向位移的新数系.同时Gauss指出：保持复数基本性质的数系扩张是不可能的.天才的Gauss并未在复平面前止步不前，相反多年中他对空间数系进行了认真的研究，且已取得了初步成果.在“宁可少些，但要成熟”思想的影响下，Gauss没有公开发表他的见解，这对Gauss个人而言或许无可厚非，但如此后人要了解他完整的数学思想就成为了难题.三元数理论中： p=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ（icosφ+jsinφ)]
无穷元数理论中：三元数等有限元数理论成为了特例，无穷元数有一个更为一般的优美的三角形式，此时出现了终极的无穷元数的代数形式与三角形式的统一形式，无穷元数理论中，一个无穷元数：
p=a0*1+a1i1+a2i2+.......+anin+...
=r[cosθ+sinθ（i1cosφ1+i2cosφ2+i3cosφ3+...+incosφn+...)],
其实数学家对于数学的研究，数学家为什么要去研究数学，一般不仅仅是因为自己天生就喜欢数学，很多时候穷究谜团的魅力超越了一切，数学家对于美学和哲学的考虑，对于数学对象优美和谐关系的考量，常常要比对于纯粹的、枯燥的数字逻辑推理要考虑的多的多[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 伐木道人 在 时添加 -=-=-=-=-
下面是北京航空航天大学一位数学学院本科生的提问：
回答如下： 您的提问是，频繁打扰，不胜惭愧。不过您居然知道我这么多东西，确实令我诚惶诚恐。就是那个三元数的几何意义，
这个很类似于球坐标的定义，但是b,c,a分别对应x,y,z。所以呢，原本是最基本的实数部分现在成了最“靠边站”的z轴了。不过这也罢了，但是论文的作者为了与复数理论相吻合，就令θ的范围为从0到2π，而φ却是从-π/2到π/2。这与球坐标中θ的范围为从0到π、φ的范围是从0到π不吻合。我想为了让三元数的几何意义与复数的几何意义相统一而令θ的范围为从0到2π是可以接受的，可是文中说“以x轴的正半轴为始边，向量 OP所在的射线（起点是O）为终边的角”为θ，那么请问这个θ怎么变到π与2π之间啊？因为在空间中可没有所谓的顺时针逆时针之分了。所以呢这是我觉得论文的另一个不完美之处，文中也没有对此进行详细解释。还请求解答！
由于你提的问题具有共性，应该还有很多大学生并没有能完全搞清楚，所以有必要公开解答，以便于大家学习，如我在信箱里私下回答你，恐怕别人还是不明白。
下面我就详细的解答你的问题如下：正如数学所李邦和院士所指出，到了高层次的数学，最后大家拼的必定是数学概念，而不是具体的数学技巧了。做数学，一旦理论的发现者提出了抽象的原始定义，在严酷的理性逻辑引领之下，那么，一般而言，一个数学体系就将不以人的意志而转移的要一往无前的发展下去了， 从定义、公理出发，无论导出什么样的结果，都不应有任何奇怪而不可接受，即便是理论的发现者，他也无法左右新理论的自由发展，好的数学理论自有他自己的神奇的生命力和内在的灵魂，所以，许多数学家承认他们只是发现了数学，而不是创造了数学，这些数学真理从来就有，也一有永有，他们独立于人的大脑和灵魂，也独立于客观的物质世界，而只生存在所谓的理想的柏拉图的世界中 。数学研究就是为了要找到这个神奇的数学世界，所谓：文章本天成，妙手偶得之。真正的数学新进展一般就是由此产生。
具体到三元数p=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)],一眼看去，这个形式很像是高等数学中的球坐标，其实这个三元数的三角形式更应该理解成是复数三角形式的极坐标向数空间的延伸（当然本质上与球坐标等价同源），因为复数的辐角θ已经约定俗成，他的取值范围是0到2pi,三元数要将复数理论作为特例，首先就必须全面接受复数理论,决定空间的一个点p(a,b,c),传统的球坐标需要一个球面、一个半平面、一个锥面相交获得，而三元数的三角形式与此略有不同，这种三角形式一般需要一个球面、一个平面和半个锥面相交获得，所以他们的取值范围就不同了，倾角φ的概念浑然天成，φ取-pi/2-pi/2,这是为了符合反正切函数的取值范围的要求，首先建立右手系的三维空间直角坐标系，复平面为中间平面xoy，将z轴竖起来后，复平面上下旋转pi/2,可以遍历整个数空间，数空间本质上就可以看作是由复平面绕实轴（x轴）（复平面是倾角为0的数平面，φ=0）旋转而成，选择一定的角度来看，就会发现可以定义出逆时针与顺时针转向，我们默认右手系的空间直角坐标系已经建立，你有否发现这个倾角其实也正是天文学中行星绕太阳旋转的轨道倾角呢？数的倾角其实就是以复平面为初始参考0平面，以三元数所对应的点所在的数平面为终端平面，所得到的两个数平面的交角，φ=arctanc/b，这个方程当然与z=ytanφ或zcosφ=ysinφ等价,最后的形式最具有一般性，第一种形式表达最简洁。而三元数在数平面上代数运算的自洽性也正好可以用来描述行星在椭圆轨道上运动的旋转合成。而辐角θ给定，则一般可以确定半个锥面（顶点在原点），特殊情形下是半根数轴或半个平面（可看作是半个锥面的退化情形），旋转2pi,恰好遍历整个数空间，θ=0，得到一个退化的半锥面-半根正实轴，θ大于0小于pi/2,沿x轴逆时针旋转得到半个锥面（以xoz平面为参考截面与锥面相交，以x轴的正半轴为中心轴线），θ=pi/2，得到半个yoz平面，θ大于pi/2小于pi,得到以x轴的负半轴为中心轴线的半个锥面，xoz平面为参考截面与锥面相交，θ=pi，得到另半根负实轴；同理，可分析另半个数空间的情形，必须注意空间直角坐标系中三根骨架数轴的正负方向其实是大有用处的！这是三元数理论中固有的几何结构，你画一下图，最终不难搞明白的，之所以论文中没有详细交待，一方面是为了节省版面，另一方面是因为前面的论文只是基础部分，更重要的结论仍在后面未发表的论文中，本来不必要过早的宣传新的数系理论，应当把所有重要的结论都做出后，再进行详细解释更好，只是没想到你在科学网求助，我们只好仓促出手了，否则，一旦任其他人胡乱解释，就可能会影响知识的正确流传。推广到无穷元数之后，无穷元数对应的点，依然可以看作由超球面、超数平面和半个锥面相交而成，无穷元数的三角形式可以称作广义的球坐标，结论仍然是成立的，数空间的形成可以单独由超球面、超数平面或半个锥面逐渐变化完成，空间的一个点可以看作是三个平面的交点，也可看作是三个曲面的交点。我猜想前人之所以没有发现三元数、N元数、无穷元数理论，很大程度上就是因为传统的球坐标对人的思想有误导作用，这导致三元数、无穷元数的三角形式几乎不可能再被发现！因为你一旦全盘接受了西方学者已经早已提出的球坐标理论，就很难再会去研究，三元数的三角形式是不是还可能是另外的情形？正是因为传统球坐标的存在，一般人就根本不会再去想三元数还会有与球坐标不完全一样的也非常完美的另外的三角形式，所以，数学研究的过程其实也是一个充满悖论的过程，一方面知识学的越来越多，仿佛基础越来越牢固，应该是能力越来越强，其实不然，另一方面，很多人的成见也会越来越深，往往也会迷惑了自己的眼睛，限制了自己的思路，使得自己无法独立思考，一般人根本也就不敢再去怀疑古人，这真是不可思议的事情，但无可奈何，事情往往就是这样，一些大数学家都讲：数学是年轻人的事情，原因就在于此，往往年龄越大，成见越深，发现高度独创的数学理论的可能性就会越来越少了。而科学研究，独立思考的能力，远胜过学习知识的本领，数学大师与数学匠的区别也就在这里了。
3月20日上午，第二届全国大学生数学竞赛决赛颁奖大会在北京航空航天大学学术交流厅隆重举行。出席颁奖大会的有：我国著名数学家、北京大学姜伯驹院士，中科院数学与系统科学研究院研究员、全国大学生数学竞赛委员会主任林群院士，中国数学会副理事长巩馥洲研究员，中国数学会秘书长王长平教授，北京航空航天大学副校长郑志明教授，全国大学生数学竟赛委员会委员，以及各赛区负责人，参赛师生等共400余人。颁奖大会由中国数学会秘书长王长平教授主持。你看看？这次竞赛你们北航是主办方，数学所林群院士、北京大学的姜伯驹院士等学术界的老前辈大腕都来了，当然我们也不可能不知道了。 supersiyan:呵呵，太感谢了，居然说了这么多。领受了！本帖最后由 white123456 于 2011-3-27 21:02 编辑
不必客气！其实无穷元数集合A^∝可看作是实数域R上的线性空间，p=a0*1+a1i1+a2i2+.......+anin+...所形成的无穷维数空间A^∝=span{1,i1,i2,i3,...,in,......},这个实线性空间由可数无穷个线性无关单位元生成，即对于任意p∈A^∝都有p=a0*1+a1i1+a2i2+.......+anin+...成立，an∈R,n∈N,
1，i1,i2,....,in,....是无穷维数空间的一组基。数系推广至数空间后，会产生许多有趣的数学结果，首先在分形几何领域，所谓芒得尔布罗图形，朱利亚集等，你不难设计一个数学程序，作出几个有趣的三维空间数学图形来，从最简单的迭代函数做起，你不妨取f(x)=x^2+p，其中p为三元数，即p=a+bi+cj，p、x∈A^3,自变量取三维数空间，很简单的数学程序后，你就应该可以把所有的芒得尔布罗平面图形全部变成有趣的空间分形几何图形，华东理工大学陆元鸿教授用matlab作出了一个有趣的瘪橄榄球图形，请你不妨也来试试，在这个领域，郑州**指挥学院杨冠平老师曾经发表了不少有趣的分形几何图形，你可以把那些平面的东西，都让他们站起来变成有趣的空间图形，当然，常数p的选择是非常重要的，数学这个东西不但有用，其实也很有趣，这个简单工作，数学系的本科生应该是不难完成的，你就当多做一道数学作业题呗。
估计这样贴出，您好您好同学就会看得很明白了。这是中科院数学所的一位博士当年在数学博士论坛给出的看法:
我已经看到洛奇、charlie1110的言论多日了，但没有立即反驳。正可谓无知者无畏，我在犹豫是否要反驳一下。很明显charlie1110连“域”的概念都没有搞清楚，一知半解地拿着记错的结论就口出狂言。这样的人实在不值得与之争论。但他的言论实在误人子弟。
无论多么高深的数学知识，都是从数学基础知识发展而来的。对于肯思考的人，任何一门本科数学课程都是上不封顶的。如果只满足于书本上的知识就会觉得已经到头了，但如果肯深究的话，也就是说持研究态度的话，那么从任何一本基础的数学书都可追踪到数学前沿。
深究复数的概念对于理解数学的研究对象从“数”到代数结构的转变是很有好处的。当域的结构不再满足需求时，我们就探讨更基本的结构。“超复数”如今是个历史名词了，多数人都不会想到现在广泛使用的向量、矩阵、张量等概念都起源于超复数。数的概念绝不像自然数、整数、有理数那样容易理解。搞清实数、复数的概念是一个漫长的历史过程。如果一个人只满足于教材上给出的复数的运算性质或一些已有的结论而不去考虑自己是否真正理解其本质的话，这样的人不适合做数学研究。高斯也曾经构造过三维复数，是否高斯也是个极品傻瓜。哈密尔顿发现四元数，是他寻找三维复数的结果。正是这样的“极品傻瓜”改变了人们对“数”的认识。如果没有寻找三维复数或更高维复数的活动，人们会知道复数是最后一个具有域结构的数系吗？哈密尔顿没能找到三维复数，是否说明三维复数不存在呢？如果读一下我的文章就会找到答案。数学的发展正在于不断的探索。我的文章不是研究论文，只是一篇面向本科生的科普论文。所谓寻找三维复数的问题只是一个引子，是要引导读者去思考更有意义的问题。在物理上，超复数的研究确有意义，何况工程上的应用更无可辩驳的说明了它的意义；在数学上，Clifford代数和Clifford分析都还在发展中。洛奇和charlie1110大概只是看了标题，未曾阅读我的文章便妄加评论。
其实，在论坛上发表对别人（特别是初学者）有影响的言论是要持慎重态度的，不能信口开河，望今后以之为戒！
志之难也，不在胜人,在自胜。——《韩非子》