【蒙古国供题】早年给我印象很深刻的一道解方程组，x^3+y^3=1, x^5+y^5=15

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-12 15:53

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2019-7-12 23:42 编辑

看看很有趣啊，做做未必好做

drc2000再来 · 发表于 2019-7-12 20:17

利用对称多项式的知识可解.

简单地说,换元:x+y=a, xy=b后得两式
再两式相除

永远 · 发表于 2019-7-12 20:22

本帖最后由永远于 2019-7-12 20:29 编辑

用软件算的，可有妙解

llshs好石 · 发表于 2019-7-13 16:28

本帖最后由 llshs好石于 2019-7-13 16:35 编辑

方程组共有2组实数解

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 16:44

llshs好石发表于 2019-7-13 16:28
方程组共有2组实数解

这道题目，解答可能也要有一定技巧

llshs好石 · 发表于 2019-7-13 16:59

本帖最后由 llshs好石于 2019-7-13 17:01 编辑

dodonaomikiki 发表于 2019-7-13 16:44
这道题目，解答可能也要有一定技巧

研究了一下，确实不易，最后得到一个6次的非特殊方程，没办法因式分解，只能用数值分析了

是不是你挖的坑啊？

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 19:26

题：求方程组 x^3+y^3=1 ， x^5+y^5=1 所有的实数解。
提示（特征图象法）：在同一直角坐标系中作出y=1 -x^3和 y=1-x^5的特征图象，
由此知它们只有三个交点，即（1,0）、（0,1）、（-1,2）。
因为当x=1时，有y=0,即当x^3=x^5=1时，有y^3=y^5=0；
当x=0时，有y=1,即当x^3=x^5=0时，有y^3=y^5=1；
当x=-1时，有y=2,即当x^3=x^5=-1时，有y^3=y^5=2；显然，这样的实数不存在。
故其实数解为（1,0）、（0,1）。

仿照此题的分析，看下面的题目：
早年给我印象很深刻的一道解方程组，x^3+y^3=1, x^5+y^5=15 。
分析：在同一直角坐标系中作出y=1 -x^3和 y=15-x^5的特征图象。它们只有一个交点（a，b）,其中a＞1，b＜0.这时b=1 -a^3和 b=15-a^5,但不可能有实数y满足y^3=y^5=b。故无实数解。欲求其虚数解难！

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 20:02

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2019-7-13 20:07 编辑

此题木有实数解，也表示啦两图、两个函数曲线无法交会

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 20:12

根据波斯老师的思路，就是说求出两支函数图像的交汇点【a,b】

针对此题，我们肉眼不经意间的时候，已经瞥见，这个交会点就是【2，-7】
也就是说，b=-7
那么，很显然，一个实数不可能说，她的三次方是负7，她的五次方还是负-7
最后，快速推断出，此方程组无解！

再次表示感谢对波斯老师！感谢老师付出的辛苦劳动和艰辛努力！

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 21:08

dodonaomikiki 发表于 2019-7-13 20:12
根据波斯老师的思路，就是说求出两支函数图像的交汇点【a,b】

显然不是（2，-7）。

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【蒙古国供题】早年给我印象很深刻的一道解方程组，x^3+y^3=1, x^5+y^5=15

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