【蒙古国再次供题】求方程组 x^3+y^3=1 ， x^5+y^5=1 所有的实数解

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-12 23:22

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-7-13 13:17 编辑

可能要用到反证法

luyuanhong · 发表于 2019-7-13 12:52

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-7-13 13:01 编辑

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 13:58

luyuanhong 发表于 2019-7-13 12:52

陆老师解答，非常非常之精采！非常感谢！

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 14:30

对陆老师解答中的最后一个长式，进行配图

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 19:01

题：求方程组 x^3+y^3=1 ， x^5+y^5=1 所有的实数解。
提示（特征图象法）：在同一直角坐标系中作出y=1 -x^3和 y=1-x^5的特征图象，
由此知它们只有三个交点，即（1,0）、（0,1）、（-1,2）。
因为当x=1时，有y=0,即当x^3=x^5=1时，有y^3=y^5=0；
当x=0时，有y=1,即当x^3=x^5=0时，有y^3=y^5=1；
当x=-1时，有y=2,即当x^3=x^5=-1时，有y^3=y^5=2；显然，这样的实数不存在。
故其实数解为（1,0）、（0,1）。

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 20:28

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2019-7-13 20:56 编辑

波斯猫猫发表于 2019-7-13 19:01
题：求方程组 x^3+y^3=1 ， x^5+y^5=1 所有的实数解。
提示（特征图象法）：在同一直角坐标系中作出y=1 -x ...

波斯老师您好：
我忽然对您的这个解题思路，产生啦质疑，【起啦疑心】：
如果事后诸葛的话，来观察的话，x^3 与x^5， y^3与y^5在前后两个方程中，【权重】、【所分配到的数值】是一样的！
但问题是：【事前】的话，我们又怎么知道x^3 与x^5产生的分量一样重、 y^3与y^5产生的分量一样重？凭什么，认为他们产生的分量一样重呢？

真诚质疑，望波斯老师莫见怪！

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 21:01

释疑：根据关于x轴的对称性，由y=x^3的图象得y=-x^3的图象，再把所得的图象向上平移一个单位得到y=1-x^3的图象，对y=x^5同时做同样的处理。

dodonaomikiki · 发表于 2019-7-13 21:02

本帖最后由 dodonaomikiki 于 2019-7-13 21:05 编辑

这是一个外国朋友在2013年，给出的解答！他是分情形讨论啦
WLOG：不失一般性
请各位老师看看，他做的对不对。我觉地他这个答案非常精简。

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 21:31

当x、y∈（0,1）时，若x^3+y^3=1 （ x^5+y^5=1 ），则x^5+y^5＜1 （ x^3+y^3＞1 ）。

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-13 21:31

本帖最后由波斯猫猫于 2019-7-13 21:34 编辑

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