从素数数量π(x)分析当x趋大10倍时素数π(x)的倍率变化以及素数出现率变化趋势

愚工688

从素数数量π(x)分析当x趋大10倍时素数π(x)的倍率变化以及素数出现率变化趋势


有人说在x趋于无穷时x内素数出现率趋于0，而现实素数的出现数量是趋于无穷多的。
很明显，素数出现率趋于0的论点是与事实素数出现情况相悖的。
目前，可以查到的素数数量的范围是在 x=10^25内的素数数量π(10^25)。
从目前能够得到的实际素数数据看看每当数x扩大10倍时实际素数数量的倍率变化:
[倍率k(x)=π(10x)/π(x)的]

x=10 ,  π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25;  k(10)=6.25;
x=10^3, π(10^3)=168;  k(10^2)=6.72;
x=10^4, π(10^4)=1229;  k(10^3)≈7.315;
x=10^5, π(10^5)=9592;   k(10^4)≈7.8047;
x=10^6, π(10^6)=78498,   k(10^5)≈8.1837;
x=10^7, π(10^7)=664579,   k(10^6)≈8.4662;
x=10^8, π(10^8)=5761455,   k(10^7)≈8.6693;
x=10^9, π(10^9)=50847534,   k(10^8)≈8.8255;
x=10^10,π(10^10)=455052511,  k(10^9)≈8.925;
x=10^11,π(10^11)=4118054813,  k(10^10)≈9.050;
x=10^12,π(10^12)=37607912018 , k(10^11)≈9.132;
x=10^13,π(10^13)=346065536839 , k(10^12)≈9.2019;
x=10^14,π(10^14)=3204941750802 , k(10^13)≈9.261;
x=10^15,π(10^15)=29844570422669 , k(10^14)≈9.312;
x=10^16,π(10^16)=279238341033925 , k(10^15)≈9.356;
x=10^17,π(10^17)=2623557157654233,  k(10^16)≈9.3954;
x=10^18,π(10^18)=24739954287740860,  k(10^17)≈9.42993;
x=10^19,π(10^19)= 234057667276344607, k(10^18)≈9.4607
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840, k(10^19)≈9.4883
x=10^21,π(10^21)= 21127269486018731928 ,k(10^20)≈9.5132
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290,  k(10^21)≈9.5359;
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923,  k(10^22)≈9.5568；
x=10^24,π(10^24)=18435599767349200867866， k(10^23)≈9.57534；
x=10^25,π(10^25)=176846309399143769411680， k(10^24)≈9.59265；
……

可以明显的看到：
1，随着数10^n 的不断增大，实际素数数量的倍率k(x)是单调增大的；
2，随数n的增大，π(10^n+1)/π(10^n)的比值K(10^n)逐渐的接近10；
3，随数n的增大，倍率k(x)的增大量越来越小。

分析展望一下：
如果保持 k(10^24)的增大量0.0173不变，那么在n增大24的情况下，在n=50时倍率k(x)能够达到K(10^n)≈9.99，
但是这是不可能的，因为随数n的增大，倍率k(x)的增大量会越来越小。
也许在n=60时倍率k(x)能够达到K(10^n)≈9.99；
也许在n=80时倍率k(x)能够达到K(10^n)≈9.999；
也许在n=100时倍率k(x)能够达到K(10^n)≈9.9999；
这是一个极限值，实际素数数量的倍率k(x)永远小于x的扩大量10的。
……
在素数数量的增大倍率几乎与数的扩大倍率相同,实际素数出现率π(x)/x 几乎已经成为了极限值,因为其保证了π(x)/x的分子与分母的同步扩大。

那么x趋于无穷时，怎么会出现素数出现率趋于0的情况？
只有在随着数10^n 的n不断增大，实际素数数量的倍率k(x)是单调下降的的情况下才可能；这显然不符合事实的。

wangyangke

当数x扩大10倍时，素数出现率=（π（10x）-π（9.99x））/（10-9.99）x


当数x扩大10的25次方倍时，素数出现率=（π（10的25次方倍x）-π（10的25次方倍x-x））/x


当数x由100扩大至10的25次方时，素数的平均间距由4至5     变换到55至60，即素数出现率由

1/（4至5）

变换到
   
1/( 55至60)

是不是变小了


如果你的验算不是变小，那就去检查你的计算你的电算或者你的分析你的陈述吧


我的解说或者不准确，但，素数定理，你就不要怀疑吧


（本人在此的行为是可笑的）

任在深

确实可笑！
二位都确实可笑？！

wangyangke

刘忠友，真混账、乱扯！愚工688经过自己的计算劳动，说出自己的认识感受，奉献论坛，应当受到尊重。

任在深

wangyangke 发表于 2019-7-14 08:49
刘忠友，真混账、乱扯！愚工688经过自己的计算劳动，说出自己的认识感受，奉献论坛，应当受到尊重。

彼此彼此而已！

愚工688

wangyangke 发表于 2019-7-13 21:42
当数x扩大10倍时，素数出现率=（π（10x）-π（9.99x））/9.99x

素数的出现率是随着数x的增大而逐渐缩小的，这是毫无疑义的。
但是这个缩小的过程不是线性的，而是逐渐变动缩小的。

我是通过数x每个扩大10倍时的过程中，素数真值的倍率来分析分析这个逐渐变化的趋势，以便推测x趋于更大时素数出现率的变化。
你所提出的   当数x扩大10倍时，素数出现率=（π（10x）-π（9.99x））/9.99x
这个公式是否正确，你自己应该进行验证。我看有点莫明其妙。


至于素数定理：
在x→∞时，x之内的素数数量有
π(x)=x/lnx ；（式1）

把（式1）的两边除以x,
  就是π(x)/x=1/lnx;  (式2）
式2的左边就是素数实际发生率；右边就是依据素数定理得出的素数理论发生率；

根据素数定理，x→∞时，π(x)→∞，这是实际能够观察到的现象。
但是，依据素数定理，能否得出素数发生率 1/lnx趋向无穷小吗？

《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
也就是说：x→∞时  1/lnx→0；
可是实际上 x与lnx是完全不同阶的两类数，怎么能把x→∞时1/x→0的极限硬搬到1/lnx上面，轻易导出在x→∞时 1/lnx→0  的结论？
x值与lnx的对比：

当x取10^n的指数形式时，由换底公式，lnx=lgx/lge，
即 1/lnx=lge/n ≈0.4342944819/n

因此有：

1/lnx=0.1；n≈4.342944819；lnx/x ≈1/10^3.342944819;
1/lnx=0.01；n≈43.42944819 ；lnx/x ≈1/10^41.42944819；
1/lnx=0.001；n≈434.2944819 ；lnx/x ≈1/10^431.2944819；
1/lnx=0.0001；n≈4342.944819 ；lnx/x ≈1/10^4338.944819；
……
试问：
当x→∞时，lnx在x中的比率急剧减小→0的情况下，在lnx/π(X)也快速趋于零的情况下，怎么能够说lnx随x趋向无穷大？

而在一楼的实际π（X)的变化过程的数据分析了实际素数出现率是不可能 →0的，因为x越大，π（10x)/π（x)→10 .
即实际素数出现率 π（10x)/(10x)略小于π(x)/x。
同样道理 实际素数出现率 π（2x)/(2x) 略小于 π(x)/x 。

wangyangke

我那是随意写的，用自然对数的倒数作为素数出现率；随写的，要不得，是错的；现已做修改，改来改去，就那个意思，还不如直接说素数出现率是劳格爱克斯分之一，是逐步缩小和趋于零的。

愚工688

wangyangke 发表于 2019-7-14 12:45
我那是随意写的，用自然对数的倒数作为素数出现率；随写的，要不得，是错的；现已做修改，改来改去，就那个 ...

至于任在深先生，凡是在论坛稍微久的网友都知道他所说的是什么东西，理他干嘛？

由于素数出现率π(x)/x实际上就是两个无穷小量的比较：
x→∞时，有 lim 1/x→0；  lim 1/π(x)→0 ；
那么这两个无穷小量的比较是怎么样的呢？
引入一个已知的无穷小量 1/√x ，大家知道1/x 是比1/√x 高阶的无穷小量,(1/x)/(1/√x)=√x/x = 1/√x →0 .
那么1/π(x)的阶与它们比较是怎么样的？
考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/√x)以及π(x)/x 的值变化：


x=10^2, π(10^2)=25;        √x/π(x) = 0.4 ;      (1/√x)=0.1；  π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;       √x/π(x) ≈0.08137 ;  (1/√x)=1e-2； π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455,    √x/π(x) ≈0.001736 ; (1/√x)=1e-4； π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511 √x/π(x) ≈0.0002198; (1/√x)=1e-5； π(x)/x ≈ .0455053; (0.789822)——1e10与1e8 素数出现率比；
x=10^12,π(10^12)=3760……；√x/π(x) ≈2.659e-5 ; (1/√x)=1e-6； π(x)/x ≈ .0376079; (0.826451)——1e12与1e10素数出现率比；
x=10^14,π(10^14)=3204……；√x/π(x) ≈3.1202e-6; (1/√x)=1e-7； π(x)/x ≈ .0320494; (0.852199)——1e14与1e12素数出现率比；
x=10^16,π(10^16)=2792……；√x/π(x) ≈3.58e-7 ;  (1/√x)=1e-8； π(x)/x ≈ .0279238; (0.871274)——1e16与1e14素数出现率比；
x=10^18,π(10^18)=2473……；√x/π(x) ≈4.042e-8 ; (1/√x)=1e-9； π(x)/x ≈ .02473995;(0.885981)——1e18与1e16素数出现率比；
x=10^20,π(10^20)=2220……；√x/π(x) ≈4.503e-9 ; (1/√x)=1e-10；π(x)/x ≈ .0222082; (0.897665 ——1e20与1e18素数出现率比；
x=10^22,π(10^22)=2014……；√x/π(x) ≈4.964e-10; (1/√x)=1e-11；π(x)/x ≈ .0201467; (0.907174)——1e22与1e20素数出现率比；
显然实际素数出现率比是随着x的增大而逐渐趋近于1的，也就是说 π(x)/x的极限值是一个不为0的数。

依据教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。
从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
     ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
     依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
     x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

wangyangke

我现在吸收说错话的教训，不随意说那些；凡说话有偏离素数定理的，一概废除，以素数定理表达的意思为准，

愚工688

wangyangke 发表于 2019-7-14 13:21
我现在吸收说错话的教训，不随意说那些；凡说话有偏离素数定理的，一概废除，以素数定理表达的意思为准，

是的。
谈论数学问题，一要依据数学理论，二要经得起实际数据的验证。
我认为素数出现率趋于0是错误的，正是一依据数学理论，二经得起实际数据的验证。