甲有2红、1白球，乙有1红球，从甲取1球到乙，从乙取1球到甲，求n次后从甲取出红球

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

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[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/05/13 09:53am 第 1 次编辑]

一般来说，我们有这样的结论：

甲乙两个袋子，不管有几种球，不管初始状态如何，两个袋子的球，经过无穷多次交换后，
两个袋子中各种球的分布情况，必定与将两个袋子的球混放在一起时的分布情况一样。


例一  甲袋有红球 2 颗，白球 1 颗，乙袋有红球 1 颗，求经过无穷多次交换后，从甲袋
取出红球的概率。
根据上面的结论，经过无穷多次交换后，袋中球的分布，相当于将两袋中 3 颗红球、1 颗
白球混放在一起，这时，从中取出红球的概率显然应该是 3/4 。

例二  甲袋有 1 黑球 2 白球，乙袋有 1 白球 2 黑球，求经过无穷多次交换后，甲袋中为
3 白球的概率。
根据上面的结论，经过无穷多次交换后，袋中球的分布，相当于将两袋中 3 黑球 3 白球混
放在一起时的情况。这时，甲袋中为 3 白球的概率，相当于从混放在一起的 6 颗球中取出
3 颗球，取到的都是白球的概率，显然应该是 C(3,3)/C(6,3)=1/20 。
同理，甲袋中为 2 白球 1 黑球的概率，应该是 C(3,2)C(3,1)/C(6,3)=3×3/20=9/20 。
甲袋中为 1 白球 2 黑球的概率，应该是 C(3,1)C(3,2)/C(6,3)=3×3/20=9/20 。
甲袋中为 3 黑球的概率，应该是 C(3,3)/C(6,3)=1/20 。