设 a,b＞0 ，证明定积分 ∫(0,π/2)ln[a^2(cosθ)^2+b^2(sinθ)^2]dθ=πln[(a+b)/2]

永远 · 发表于 2018-3-4 16:13

本帖最后由 luyuanhong 于 2018-3-6 10:10 编辑

定积分计算-----求分析过程

永远 · 发表于 2018-3-6 00:56

求路过的大神帮我求解一下……

elim · 发表于 2018-3-6 09:30

本帖最后由 elim 于 2018-3-5 18:32 编辑

luyuanhong · 发表于 2018-3-6 10:25

楼上 elim 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj · 发表于 2018-3-6 20:27

elim用含参变量的积分计算，的确漂亮。我想问的是，这为什么是猜测？有没有直接的积分法？

elim · 发表于 2018-3-6 23:22

本帖最后由 elim 于 2018-3-7 11:07 编辑

ccmmjj 发表于 2018-3-6 05:27
elim用含参变量的积分计算，的确漂亮。我想问的是，这为什么是猜测？有没有直接的积分法？

求积分是一个非构造性运算，初等函数的导函数数还是初等函数，但原函数就未必是初等函数，很可能是通常说的超越函数，或者说‘积不出来’。但是要论证一个被积函数是否有初等原函数，并没有太多的论证手段。这就是问题的难点。

我估计数学手册上会有主贴的结果，但是没查过，不能肯定。

试过直接求原函数，但遇到困难。所以就先试试带参数的积分问题。结果发现原定积分的上下限使得这个定积分作为参变量函数是一个可积的微分方程的解。

利用Mathematica 软件知道这个实积分需要表达成特殊的复函数。也就是说，原定积分的被积函数的愿函数的确不是通常的初等函数。

主贴问题可以如此漂亮地得到解答，一开始我也没想到。

永远 · 发表于 2018-3-7 00:28

elim 发表于 2018-3-6 23:22
求积分是一个非构造性运算，初等函数的导函数数还是初等函数，但原函数就未必是初等函数，很可能是通常 ...

一个比较漂亮的分析过程，可惜又到凌晨了！各大佬晚安！明晚在继续思考……

elim · 发表于 2018-3-7 18:47

Mathematica 指出原被积函数一般不是初等函数．
接下来的贴图是我的解用LaTeX打印的结果．楼主学到了什么？数学跟大佬是什么关系？

红树 · 发表于 2018-3-7 22:25

elim · 发表于 2018-3-7 23:19

科技大出版社【常用积分表】谁能下到？

Table of Integral,Series and Products.pdf 也行

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设 a,b＞0 ，证明定积分 ∫(0,π/2)ln[a^2(cosθ)^2+b^2(sinθ)^2]dθ=πln[(a+b)/2]

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