[原创]到两点或直线的轨迹

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/08/28 10:46pm 第 4 次编辑]

似乎有点凑数，不过绝对是值得思考的。
1.平面上,求到两定点的距离之和为定值的动点轨迹.
2.平面上,求到两定点的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
3.平面上,求到两定点的距离之积为定值的动点轨迹.
4.平面上,求到两定点的距离之商为定值的动点轨迹.
5.平面上,求到一定点与一定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
6.平面上,求到一定点与一定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
7.平面上,求到一定点与一定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
8.平面上,求到一定点与一定直线的距离之商为定值的动点轨迹.
9.平面上,求到平行两定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
10.平面上,求到平行两定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
11.平面上,求到平行两定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
12.平面上,求到平行两定直线的距离之商为定值的动点轨迹.
13.平面上,求到相交两定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
14.平面上,求到相交两定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
15.平面上,求到相交两定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
16.平面上,求到相交两定直线的距离之商为定值的动点轨迹.
17.空间里,求到两定点的距离之和为定值的动点轨迹.
18.空间里,求到两定点的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
19.空间里,求到两定点的距离之积为定值的动点轨迹.
20.空间里,求到两定点的距离之商为定值的动点轨迹.
21.空间里,求到一定点与一定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
22.空间里,求到一定点与一定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
23.空间里,求到一定点与一定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
24.空间里,求到一定点与一定直线的距离之商为定值的动点轨迹.
25.空间里,求到平行两定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
26.空间里,求到平行两定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
27.空间里,求到平行两定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
28.空间里,求到平行两定直线的距离之商为定值的动点轨迹.
29.空间里,求到相交两定直线的距离之和为定值的动点轨迹.
30.空间里,求到相交两定直线的距离之差的绝对值为定值的动点轨迹.
31.空间里,求到相交两定直线的距离之积为定值的动点轨迹.
32.空间里,求到相交两定直线的距离之商为定值的动点轨迹
以上整理出32个轨迹问题。
若考虑除了欧氏距离外，还有街区距离和棋盘距离，
这样又分别得到32个轨迹。合计96个轨迹

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/06/09 01:37am 第 2 次编辑]

注意：
1。前面16题，是平面解析几何范畴。
   后12题是空间解析几何范畴。其图形是前12题相成的旋转面。
2。在以后回帖中将给出平面部分的图形。
3。距离是一种度量性质，但是平常我们只研究欧几里的距离，对其他距离很少涉及。
   本文尝试引入街区距离和棋盘距离，做一个初步考虑。
4。鉴于垂直只是度量性质，既只是相交的特殊情况，所以不需要再列垂直的情形这些都是
5。基本都是中学或稍高点的问题，不是太难

drc2000

先给出第三题的轨迹：它是卡西尼卵线。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/06/09 01:43am 第 1 次编辑]

下面考虑第一个问题：平面上,求到两定点的距离之和为定值的动点轨迹.

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/06/20 03:48pm 第 2 次编辑]

设P(a,b),Q(c,d).
定义 |c-a|+|d-b| 叫PQ的曼哈顿街区距离,简称街区距离
例如：（1，2）（4，10）的街区距离=|4-1|+|10-2|=11
P(a,b),Q(c,d)的街区距离常用D4(PQ)来表示.

定义 max(|c-a|,|d-b|)叫PQ的棋盘距离
例如：（1，2）（4，10）的棋盘距离max（|4-1|，|10-2|）=max（3，8）=8
P(a,b),Q(c,d)的棋盘距离常用D8(PQ)来表示.

定义 [(c-a)^n+(d-b)^n]^(1/n)叫P(a,b),Q(c,d)两点的闵可夫斯基距离
棋盘距离是n趋无穷大的闵可夫斯基距离?
棋盘距离是什么样的闵可夫斯基距离?忘记了……
不过这不重要，关键是从上面可看出街区距离与街区距离运算都不含平方与根式。运算都很简单。但是在讨论性质的时候，由于绝对值是分类的定义，所以含绝对值的轨迹一般都要分类讨论。从这点来说，宁肯要平方与根式，不要绝对值！

drc2000

drc2000

可以看出，欧氏距离换成街区距离后，椭圆变成了六变形。
那么双曲线呢？在街区距离情况下，双曲线是不是变成两条折线呢？

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/06/20 04:18pm 第 1 次编辑]

平面上，求到两焦点(±2,0)的街区距离差为2a的曲线轨迹.
算出来后，发现竟然不是两组折线，而是两个“半平面”，这样的“非常规”曲线，真是太令人感到意外了！

朱明君

drc2000

楼上，请说明曲线方程，谢谢