微积分中的一个数学矛盾

门外汉

取一线段L＝[0，1]，并无限的进行下面的操作：
第一步：去掉[0，1]中的0点、1点和1/2点，则剩下的是两个开区间（0，1/2）和（1/2，1）
第二步，去除1/4，3/4两个点，则剩下四个开区间：（0，1/4）,(1/4，2/4)，(2/4，3/4)，(3/4，1)。
第三步：去除1/8，3/8，5/8，7/8四个点，则剩下八个开区间：（0，1/8），(1/8，2/8)，(2/8，3/8)，(3/8，4/8)，(4/8，5/8)，(5/8，6/8)，(6/8，7/8)，(7/8，1)。
第四步：……
第五步：……
……
可以看出，随着操作次数的增加，从线段L上去除的点越来越多，直至无穷，并且线段L上的开区间越来越多，并且所有开区间的长度无限的趋近于0，由此引发出来的问题是：随着这样操作的无限增加，能不能将线段L上的所有点全都去掉？
以下是对此问题所展开的分析：
（1）：这样的操作不能将线段L上的所有点全都去掉，因为，在线段L上，既有有理数点，又有无理数点，而每次操作，所去除的全都是有理数点，因为去除的所有点的分数表达式为：P/2^n（2的n次方分之p），其中P＝{1，2，3……n}，n＝{1，2，3……n}，所有点都是两个整数之比，所以去除的所有点全都是有理数点，没有无理数点，所以不能将线段L上的所有点全都去除。
（2）：如果不能将线段L上的所有点全都去除，则线段L上一定还存在着无穷多的点，但由此也引出矛盾：因为，随着操作的无限增加，线段L上会出现无穷多个开区间，且所有开区间的长度依次为1/2，1/4，1/8，1/16……1/2^n……其开区间长度的极限为0，也就是：最后所有的开区间的长度全都为0，也就是所有的开区间都不包含任何一个点，由此看来，线段L上最后不包含任何一个点，这显然与（1）相矛盾。
（3）：举例来说：在线段L上无论如何操作，都不能去除1/3这个点，因为每一个被去除的点都为P/2^n，假设能将1/3这个点去除，则有1/3=p/2^n，但该方程式没有整数解，所以在所有的操作中都不能将1/3这个点从线段L上去除。但如果1/3这个点留在线段L上，则它必被包含在某一个开区间之中，但因为所有开区间的长度都为0，所以1/3这个点不存在于任何一个开区间之中，也就是不存在于线段L上。
这便是微积分中的一个十分严重的数学矛盾。

elim

任何开区间都会在下一个层次的操作中消失。所以 1/3 不会永远在某个开区间中。这不奇怪，也谈不上什么矛盾。

门外汉

elim 发表于 2018-3-13 01:06
任何开区间都会在下一个层次的操作中消失。所以 1/3 不会永远在某个开区间中。这不奇怪，也谈不上什么矛盾 ...

开区间无限增多，1/3始终在某一个开区间之内，对不对啊？

elim

不对，任何一个开区间在有限步后就不存在了。

jzkyllcjl

门外汉提出的问题正确。第一，“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”（参看毛泽东《矛盾论》,这里说的矛盾是需要的矛盾）。作为理论之一，数学理论与实践是一对相互依赖、仙湖斗争的矛盾； 数学理论本身也存在着永远无法解决逻辑体系上的矛盾，哥德尔不完全定理说明： 任何一个数学逻辑体系的无矛盾性无法在这个体系本身得到证明。
第二，毛泽东在《实践论》中说过：“理论的基础是实践，……真理的标准只能是社会的实践。”又讲到“通过实践而发现真理，……实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一个循环的内容，都比较地进到了高一级的程度”。”这说明：数学理论的基础是实践，并需要在继续的实践中接受检验与修改。数学的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具；不仅建立数学理论的基础是实践，而且还需要在继续的实践研究中修改、补充。逐步取得与生产实践的协调性。

jzkyllcjl

门外汉提出的问题正确。第一，“一切事物中包含着的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”（参看毛泽东《矛盾论》,这里说的矛盾是需要的矛盾）。作为理论之一，数学理论与实践是一对相互依赖、仙湖斗争的矛盾； 数学理论本身也存在着永远无法解决逻辑体系上的矛盾，哥德尔不完全定理说明： 任何一个数学逻辑体系的无矛盾性无法在这个体系本身得到证明。
第二，毛泽东在《实践论》中说过：“理论的基础是实践，……真理的标准只能是社会的实践。”又讲到“通过实践而发现真理，……实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一个循环的内容，都比较地进到了高一级的程度”。”这说明：数学理论的基础是实践，并需要在继续的实践中接受检验与修改。数学的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具；不仅建立数学理论的基础是实践，而且还需要在继续的实践研究中修改、补充。逐步取得与生产实践的协调性。

门外汉

elim 发表于 2018-3-13 02:38
不对，任何一个开区间在有限步后就不存在了。

无限次操作后，是不是在线段[0，1]上会有无限多个开区间？

elim

门外汉 发表于 2018-3-12 21:57
无限次操作后，是不是在线段[0，1]上会有无限多个开区间？

一个开区间也没有。所剩点集恰为[0,1]中不能表为二进制有限小数的点的全体。
1/3 的二进制表示是 0.010101010101010101........

门外汉

elim 发表于 2018-3-13 10:50
一个开区间也没有。所剩点集恰为[0,1]中不能表为二进制有限小数的点的全体。
1/3 的二进制表示是 0.0101 ...

所剩点集的基数为阿列夫1对吗？
还请教一个问题：所剩点集在线段L上是怎样分布的？

elim

所剩点集的基数等于 [0,1] 的基数。是[0,1]的一个稠密子集。