a,b,c 皆为整数，试证：7 是 abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3) 的因数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

a,b,c 皆為整數，試證: 7是  abc(a^3-b^3)(b^3-c^3)(c^3-a^3) 的因數

moranhuishou

式共有6个因子：
a,b,c,a^3-b^3,b^3-c^3,c^3-a^3.
任一因子含7都满足条件。
所以,a,b,c不得是7n之数；(n=0,1,2,…)
所以a,b与b,c与c,a也不得是同余数。
设a为7n+1之数，则b不得为7n+2，7n+4之数，因为其立方差必为7的倍数；
设b为7n+3之数，则c不得为7n+5，7n+6之数，因为其立方差必为7的倍数；
若设a为7n+2之数，则b不得为7n+1，7n+4，7n+5之数，因为其立方差必为7的倍数；
设b为7n+3之数，则c不得为7n+5，7n+6之数，因为其立方差必为7的倍数。
所以，式必定含因子7.

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

黯月传说

[这个贴子最后由黯月传说在 2013/06/24 01:20pm 第 2 次编辑]

X不被7整除时，x^3模7的剩余仅有{1，-1}两个，因此取3个整数时必有两个属于同一剩余类，此时这两个数的立方差被7整除.得证

luyuanhong

谢谢楼上 黯月传说 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。