甲乙丙瓶各有1升水，每次甲倒一半给乙，乙倒一半给丙，丙倒一半给甲，求稳定状态

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天山草

  2 楼的结果是对的，但是叙述过程中，好像哪里有毛病。
  开始时 a=1, b=1, c=1， 即三个瓶中的水一样多，操作多次、达到稳定状态以后，“甲，乙，丙各瓶中的水量还是 a,b,c 公升”，这话不对。如果对，那最终还是 a=1, b=1, c=1，即三个瓶中的水量相等，实际上是不等的。
    我用程序计算的结果是，无论开始时三个瓶子中的水各有多少，若其总水量（三瓶水之和）是 K 公升，则最终甲瓶有水 K/2 公升，乙瓶和丙瓶都有水 K/4 公升。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/29 05:59pm 第 1 次编辑]

'; 操作结果演示
    '; 有甲、乙、丙三个瓶子，开始时各有 a,b,c 公升水。以后每一轮操作，都是先将甲瓶的水倒出一半到乙瓶，
    '; 再将乙瓶的水倒出一半到丙瓶，再将丙瓶的水倒出一半到甲瓶。
    '; 这样一直操作下去，直至达到稳定状态时，甲瓶中有多少水？
   
    '; 本程序运行结果：甲、乙、丙三个瓶中各有水(a+b+c)/2, (a+b+c)/4, (a+b+c)/4
    '; 有些奇怪，“稳定”后并不是三个瓶中的水都一样多。
   
    Private Sub form_Click()
   
    a = 1: b = 2: c = 9   ';假定甲、乙、丙三个瓶子，开始时各有 a,b,c 公升水。
   
    k = 10  ';操作次数
   
    For i = 1 To k
     a1 = a / 2: b1 = b + a / 2: c1 = c ';先将甲瓶的水倒出一半到乙瓶
     a = a1: b = b1: c = c1
     a1 = a: b1 = b / 2: c1 = c + b / 2 ';再将乙瓶的水倒出一半到丙瓶
     a = a1: b = b1: c = c1
     a1 = a + c / 2: b1 = b: c1 = c / 2 ';再将丙瓶的水倒出一半到甲瓶
     a = a1: b = b1: c = c1
     
      Print "a("; i; ")=";: Print Format(a, "#.#######")
      Print "b("; i; ")=";: Print Format(b, "#.#######")
      Print "c("; i; ")=";: Print Format(c, "#.#######")
      Print
     Next i
    End Sub
假定开始时 a = 0: b = 2: c = 1
共操作 10 次，各次的结果是：
a( 1 )=1.
b( 1 )=1.
c( 1 )=1.
a( 2 )=1.375
b( 2 )=.75
c( 2 )=.875
a( 3 )=1.484375
b( 3 )=.71875
c( 3 )=.796875
a( 4 )=1.5058594
b( 4 )=.7304688
c( 4 )=.7636719
a( 5 )=1.5056152
b( 5 )=.7416992
c( 5 )=.7526855
a( 6 )=1.5027771
b( 6 )=.7472534
c( 6 )=.7499695
a( 7 )=1.5010338
b( 7 )=.749321
c( 7 )=.7496452
a( 8 )=1.500299
b( 8 )=.7499189
c( 8 )=.7497821
a( 9 )=1.5000576
b( 9 )=.7500342
c( 9 )=.7499081
a( 10 )=1.4999987
b( 10 )=.7500315
c( 10 )=.7499698

天山草

假定开始时 a = 1: b = 2: c = 3 （总水量是 6 公升）
操作 10 次，各次结果是：
a( 1 )=2.625
b( 1 )=1.25
c( 1 )=2.125
a( 2 )=3.015625
b( 2 )=1.28125
c( 2 )=1.703125
a( 3 )=3.0566406
b( 3 )=1.3945313
c( 3 )=1.5488281
a( 4 )=3.0334473
b( 4 )=1.4614258
c( 4 )=1.505127
a( 5 )=3.0138245
b( 5 )=1.4890747
c( 5 )=1.4971008
a( 6 )=3.0044594
b( 6 )=1.4979935
c( 6 )=1.4975471
a( 7 )=3.0010591
b( 7 )=1.5001116
c( 7 )=1.4988294
a( 8 )=3.0001045
b( 8 )=1.5003206
c( 8 )=1.499575
a( 9 )=2.9999329
b( 9 )=1.5001864
c( 9 )=1.4998807
a( 10 )=2.999945
b( 10 )=1.5000764
c( 10 )=1.4999786

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/29 06:27pm 第 1 次编辑]


把问题稍改一改：
有甲、乙、丙三个瓶子，开始时各有 a,b,c 公升水。以后每一轮操作，都是先将甲瓶的水倒出 1/10000 到乙瓶，再将乙瓶的水倒出 1/10000 到丙瓶，再将丙瓶的水倒出 1/10000 到甲瓶。这样一直操作下去，直至达到稳定状态时，甲瓶中有多少水？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/29 06:45pm 第 2 次编辑]


下面这道题是北京市中学生 1962 年的一道数学竞赛题。
这个题与楼主的问题有点相似，但是结果却不同。为什么“分糖果”的最终结果是“每个小朋友分得的糖果都一样多”，而楼主的问题，结果是不一样多呢？

luyuanhong

下面引用由天山草在 2013/06/29 05:36pm 发表的内容：
2 楼的结果是对的，但是叙述过程中，好像哪里有毛病。
  开始时 a=1, b=1, c=1， 即三个瓶中的水一样多，操作多次、达到稳定状态以后，“甲，乙，丙各瓶中的水量还是 a,b,c 公升”，这话不对。如果对，那最终还　...

注意，我说的是“设达到稳定状态时，甲、乙、丙三个瓶中分别有 a,b,c 公升水”，
不是“设开始时，甲、乙、丙三个瓶中分别有 a,b,c 公升水”。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/06/29 07:05pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2013/06/29 06:58pm 发表的内容：
注意，我说的是“设达到稳定状态时，甲、乙、丙三个瓶中分别有 a,b,c 公升水”，
不是“设开始时，甲、乙、丙三个瓶中分别有 a,b,c 公升水”。

    噢，这就对了。表中的那个“操作前”也不是指“第一次操作前水量的初始状态”，而是若干次操作之后、新的一次“操作前”。

luyuanhong

下面引用由天山草在 2013/06/29 06:43pm 发表的内容：
下面这道题是北京市中学生 1962 年的一道数学竞赛题。
这个题与楼主的问题有点相似，但是结果却不同。为什么“分糖果”的最终结果是“每个小朋友分得的糖果都一样多”，而楼主的问题，结果是不一样多呢？

在“分糖果”的问题中，每一轮操作，是所有小孩“同时”把糖分给别人，
在“倒水”的问题中，每一轮操作，是各瓶“依次逐步”将水倒给下一瓶。
所以这两个问题是不同的。