求到空间中 A(2,2,1),B(1,3,-1),C(1,1,-1) 三点等距的图形的方程

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/07 11:27am 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

空間中有三點A(2,2,1) B(1,3,-1) C(1,1,-1)  請問到此三點等距的圖形為何?
方程式為何?

wangyangke

网上搜索现学、试解，请师长纠错——

luyuanhong

谢谢楼上 wangyangke 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/07/07 11:36pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：
空間中有三點A(2,2,1) B(1,3,-1) C(1,1,-1)  請問到此三點等距的圖形為何?
方程式為何?
解：设动点为P(x,y,z)，则：|PA|=|PB|,|PA|=|PC|.
既:√((x-2)(^2)+(y-2)(^2)+(z-1)(^2))=√((x-1)(^2)+(y-3)(^2)+(z+1)(^2)).......(1)
     √((x-2)(^2)+(y-2)(^2)+(z-1)(^2))=√((x-1)(^2)+(y-1)(^2)+(z+1)(^2)).......(2)
化简(1)x-2)(^2)+(y-2)(^2)+(z-1)(^2)=(x-1)(^2)+(y-3)(^2)+(z+1)(^2)
              (x^2)-4x+4+y(^2)-4y+4+z(^2)-2z+1=(x^2)-2x+1+y(^2)-6y+9+z(^2)+2z+1
既:  -4x+4-4y+4-2z+1=-2x+1-6y+9+2z+1
既:  -2x+2y-4z=2
既:        x-y+2z=-1
化简(2)x+y-2z=3
所求为直线: x-y+2z=-1
                      x+y-2z=3
令z=t
x-y=-1-2t
x+y=3+t
当然也可按习惯可化为参数式:
x=1-t/2
y=2|+3t/2
z=t
(网络答题,不保正确;如若答对,必属偶然)

luyuanhong

谢谢楼上 drc2000 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyucheng1

此题应分2种情况考虑：1、空间三点共线，则与此线平行的所有平面（包含重合），本题不属于这个情况；
                     2、空间三点不共线，又有2种情况，（1）是与此3点所在平面
平行的所有平面（包含重合）；（2）是一此3点外接圆圆心为球心的所有球面。
    因此，本题答案并不是唯一的，应包含可变参数。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1 在 时添加 -=-=-=-=-
第（1）种情况需含可变参数；
第（2）种情况是过外接圆圆心与三点平面垂直的直线，是唯一解。直线当然也属于图形。

luyucheng1

2楼的平面方程式不正确，应该是2x-z-3=0，到三点距离相等的平面方程是2x-z+m=0（m为任意常数）。

drc2000

严格来说三楼，我的解答还漏了一句话，现在补充：
显然完备和充分性都满足，所以
所求为直线:
x-y+2z=-1
x+y-2z=3

（令z=t
x-y=-1-2t
x+y=3+t
当然也可按习惯可化为参数式:
x=1-t/2
y=2+3t/2
z=t）
(网络答题,不保正确;如若答对,必属偶然)

wangyangke

感谢 luyucheng1 老师纠错，改正如下——

luyucheng1

9楼的回答仍不符合题意。过三角形外接圆圆心且与三点平面垂直的直线到三点距离只有一个，就是圆心一点，直线上其它点虽然到三点的长度相同，但它不能称为距离。事实上，到三点距离都相等的面有与三点平面平行的所有平面和以它的外接圆圆心同心的球面（若问的是线，则为在三角形平面内的同心圆）。以上观点，供参考。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1 在 时添加 -=-=-=-=-
这里有个概念错误，好像直线上所以点到另外三点的距离相等，就是这三点分别到直线的距离相等。我们知道，点到直线的距离是唯一的，就是由该点向直线作垂线，相交点（垂足）与该点的长度才叫点到直线的距离。点到面的距离，同样是从点向面作垂线来计算。