f(x) 为 n 次非负整系数多项式，满足 f(1)=6 ，f(7)=3438 ，求 f(2)

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/07/09 09:00pm 第 2 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

f(x) 為 n 次非負整係數多項式滿足 f(1)=6,f(7)=3438, 求 f(2)

luyucheng1

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是我对此题的解答：

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/09 06:53pm 第 2 次编辑]


陆教授的解答方法是严格的。
但是 2 楼的解答没有看明白。如果仍按 2 楼的方法，能否解答类似的下题：
f(x) 為 4 次非負整系数多项式满足： f(1)= 39, f(7)=14643, 求这个多项式的各系数。

luyucheng1

首先确定最高次项及系数，然后递推，方法没有错，f（1）=39，只可能影响一次方系数，39<7^2,2次方后看余数，就可以确定一次方系数和常数项。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luyucheng1 在 时添加 -=-=-=-=- 5楼给出的f（1）=39，多项式就不是非负整系数多项式了！做题要根据题意选取方法。越简化越好。

天山草

5 楼给出的例子，共有 14 组解，若用 2 楼的方法，不知是否能全部求出。
【以下各组系数均以高次项到常数项的顺序列出】
3
21
4
5
6
4
13
11
5
6
4
14
3
12
6
4
14
4
4
13
5
5
18
5
6
5
6
10
12
6
5
6
11
4
13
5
7
2
19
6
5
7
3
11
13
5
7
4
3
20
6
0
1
26
6
6
0
2
18
13
6
0
3
10
20
6
0
4
2
27
------------------------------

luyucheng1

7楼解题很仔细，很认真！难能可贵！
对于本题，要求是非负整系数，又f（1）=6，就是对于所有项，系数不允许>6，如果有一项系数=6，则其他项系数都为0才能满足题意。
以上你提供的所有答案，都有系数超过6的情况，这些答案均不可取。
本人认识粗浅，勿见笑！

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/11 06:19pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyucheng1在 2013/07/11 09:55am 发表的内容：
对于本题，要求是非负整系数，又f（1）=6，就是对于所有项，系数不允许>6，如果有一项系数=6，则其他项系数都为0才能满足题意。
以上你提供的所有答案，都有系数超过6的情况 ...

&#160;对于楼主的原题，是 f(1)=6, 只有一组解。后来我改成了 f(1)=39, 系数就有大于 6 的情况了，并且有多组解。