求使得 2^n+2^16+2^19 为完全平方数的正整数 n

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

求使得 2^n+2^16+2^19  為完全平方數的正整數n

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/10 00:08pm 第 2 次编辑] （一）假定 n<16。设 n=16-m，则 2^n + 2^16 + 2^19 = 2^16(2^-m + 1 + 2^3)= 2^16(2^-m + 9)，因 2^16 是完全平方数，而 2^-m + 9 不是个整数，所以 n<16 不行。 （二）假定 n=16。则 2^n + 2^16 + 2^19 = 2^16(1 + 1 + 2^3)= 2^16*10，因 2^16 是完全平方数，而 10 不是完全平方数，所以 n=16 不行。 （三）假定 n>16。设 n = 16 + m 能使原式成为一个完全平方数。则 2^n + 2^16 + 2^19 = 2^16(2^m + 1 + 2^3)= 2^16(2^m + 3^2)， 由于 2^16 是完全平方数，因此只须寻找正整数 m，使得 2^m + 3^2 是一个完全平方数即可。  容易看出， m=4 可以。也就是 n=20 满足要求。  除了 4 以外，还有别的 m 吗？看来是没有了。

moranhuishou

下面引用由天山草在 2013/07/10 11:22am 发表的内容：
容易看出， m=4 可以。也就是 n=20 满足要求。w{
除了 4 以外，还有别的 m 吗？看来是没有了。?

2^m + 3^2=4^2+3^2=5^2 是勾股数是唯一的，所以m=4是唯一的。

luyucheng1

2楼是正确的。在n<16时，中间项2^16要写成2x2^15，只有在n=11时提取公因子后写成平方形式，但公因子2^11又不是完全平方数；在n=16,时，不成立；同样在n>16,只有n=20可以成立。

luyuanhong

谢谢楼上 天山草 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。