实算 2000 亿内间距是 2 与间距是 4 的素数组数

天山草

上表数据是依据素数表的实算值，没有误差【除最后一列的比值数据外】。

天山草

上表说明，有个有趣的【猜想】：间距是 2 的素数（也就是孪生素数）的数量，与间距是 4 的素数的数量相比，两者是一样多的。
    当然，还没有人能够证明这件事。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/14 11:54am 第 1 次编辑]


从数据看，随着数字越来越大，间距是 2 的组数与间距是 4 的组数的比值，总在 1 附近波动，而且波动越来越小，这说明，这个比值是以 1 为其极限的。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/15 05:37pm 第 3 次编辑]


间距是 8 的素数要比孪生素数（间距是 2）少一些，可能是 10：12 的关系，见下面的实算数据：
 表中最后一列的数字与上面那表不同之处是，本表中这列数字没有波动性，而是单调递减的，可能最终会趋于某个常数——这个常数有可能是 1.2。请网友给出这个比值的理论值。


请网友给出二者数量之比的理论值。

柳林

我把计算值也按10亿间隔列出：

区间亿计算值
10亿3405196
20亿6361397
30亿9179454
40亿11913471
50亿14586929
60亿17214526
70亿19804138
80亿22361978
90亿24893117
100亿27399847
110亿29885887
120亿32353302
130亿34803466
140亿37237574
150亿39657687
160亿42064169
170亿44458799
180亿46841701
190亿49213527
200亿51575245
210亿53927390
220亿56270306
230亿58604765
240亿60930888
250亿63248733
260亿65559652
270亿67863443
280亿70159905
290亿72450193
300亿74734231
310亿77012303
320亿79284045
330亿81550601
340亿83810671
350亿86066197
360亿88316763
370亿90561914
380亿92802718
390亿95038503
400亿97269472
410亿99496726
420亿101719715
430亿103937742
440亿106151840
450亿108362230
460亿110569094
470亿112771668
480亿114971007
490亿117166432
500亿119358097
510亿121546143
520亿123731578
530亿125913647
540亿128092460
550亿130267248
560亿132439877
570亿134609571
580亿136775505
590亿138939621
600亿141100191
610亿143257302
620亿145412920
630亿147565232
640亿149714306
650亿151861218
660亿154006101
670亿156148033
680亿158288045
690亿160425284
700亿162559723
710亿164692457
720亿166822557
730亿168950056
740亿171076062
750亿173198583
760亿175319724
770亿177439527
780亿179555991
790亿181671265
800亿183783289
810亿185894244
820亿188003069
830亿190109823
840亿192214608
850亿194317462
860亿196418375
870亿198517429
880亿200614657
890亿202710100
900亿204802757
910亿206894859
920亿208985283
930亿211074107
940亿213160211
950亿215244734
960亿217328851
970亿219410384
980亿221490480
990亿223568015
1000亿225645314
1010亿227720114
1020亿229793580
1030亿231865766
1040亿233935552
1050亿236005292
1060亿238072678
1070亿240138917
1080亿242202830
1090亿244265597
1100亿246327297
1110亿248387937
1120亿250446397
1130亿252503864
1140亿254560367
1150亿256614728
1160亿258668188
1170亿260719537
1180亿262769997
1190亿264819590
1200亿266867116
1210亿268913858
1220亿270959810
1230亿273003757
1240亿275046977
1250亿277088243
1260亿279128810
1270亿281167459
1280亿283205485
1290亿285242889
1300亿287278375
1310亿289313282
1320亿291346379
1330亿293377644
1340亿295408350
1350亿297438532
1360亿299466953
1370亿301494894
1380亿303521102
1390亿305546850
1400亿307570905
1410亿309594563
1420亿311616534
1430亿313636856
1440亿315656811
1450亿317676411
1460亿319694384
1470亿321710707
1480亿323726738
1490亿325741197
1500亿327755413
1510亿329768057
1520亿331779147
1530亿333790025
1540亿335800690
1550亿337808470
1560亿339817407
1570亿341823463
1580亿343829362
1590亿345835125
1600亿347838052
1610亿349842217
1620亿351843559
1630亿353844816
1640亿355846027
1650亿357844427
1660亿359842802
1670亿361841154
1680亿363838102
1690亿365833665
1700亿367827867
1710亿369822104
1720亿371816380
1730亿373807923
1740亿375799523
1750亿377789773
1760亿379780113
1770亿381769119
1780亿383756815
1790亿385744610
1800亿387731123
1810亿389716365
1820亿391701738
1830亿393685815
1840亿395668640
1850亿397651646
1860亿399633388
1870亿401613875
1880亿403594553
1890亿405572549
1900亿407552238
1910亿409529272
1920亿411506576
1930亿413482680
1940亿415457581
1950亿417432752
1960亿419406747
1970亿421379585
1980亿423351267
1990亿425323281
2000亿427294147

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/15 05:23pm 第 2 次编辑]


柳林用他自己的“不大于 x 的孪生素数组数”公式分别算出了 10亿，20亿，30亿，……，2000亿以内大约有多少组孪生素数，见下表的第一列。第二列是没有误差的实际值。第三列是二者之比。第四列是二者的相对误差。

柳林近似公式a1  实际值a0        a1/a0       相对误差
                                          (a1-a0)/a0
-----------------------------------------------------
 3405196      3424506       0.994361230    -0.0056
 6361397      6388041       0.995829081    -0.0042
 9179454      9210144       0.996667805    -0.0033
 11913471     11944438      0.997407413    -0.0026
 14586929     14618166      0.997863138    -0.0021
 17214526     17244409      0.998267091    -0.0017
 19804138     19830161      0.998687706    -0.0013
 22361978     22384176      0.999008317    -0.0010
 24893117     24911210      0.999273700    -0.0007
 27399847     27412679      0.999531895    -0.0005
 29885887     29889853      0.999867313    -0.0001
 32353302     32352147      1.000035701     0.0000
 34803466     34795179      1.000238165     0.0002
 37237574     37222867      1.000395107     0.0004
 39657687     39636297      1.000539657     0.0005
 42064169     42034329      1.000709896     0.0007
 44458799     44420444      1.000863454     0.0009
 46841701     46794794      1.001002398     0.0010
 49213527     49156910      1.001151761     0.0012
 51575245     51509099      1.001284161     0.0013
 53927390     53851286      1.001413225     0.0014
 56270306     56185151      1.001515614     0.0015
 58604765     58507847      1.001656496     0.0017
 60930888     60822299      1.001785348     0.0018
 63248733     63128979      1.001896973     0.0019
 65559652     65426926      1.002028614     0.0020
 67863443     67717627      1.002153295     0.0022
 70159905     70002839      1.002243709     0.0022
 72450193     72283281      1.002309137     0.0023
 74734231     74555618      1.002395701     0.0024
 77012303     76818877      1.002517949     0.0025
 79284045     79078021      1.002605326     0.0026
 81550601     81331281      1.002696625     0.0027
 83810671     83577878      1.002785342     0.0028
 86066197     85818596      1.002885167     0.0029
 88316763     88056138      1.002959760     0.0030
 90561914     90288645      1.003026615     0.0030
 92802718     92515564      1.003103845     0.0031
 95038503     94737492      1.003177317     0.0032
 97269472     96956707      1.003225821     0.0032
 99496726     99170463      1.003289921     0.0033
 101719715    101378655     1.003364219     0.0034
 103937742    103582937     1.003425323     0.0034
 106151840    105785108     1.003466764     0.0035
 108362230    107980774     1.003532629     0.0035
 110569094    110172484     1.003599901     0.0036
 112771668    112358410     1.003678034     0.0037
 114971007    114544059     1.003727369     0.0037
 117166432    116725272     1.003779473     0.0038
 119358097    118903682     1.003821707     0.0038
 121546143    121079350     1.003855265     0.0039
 123731578    123250602     1.003902423     0.0039
 125913647    125416850     1.003961166     0.0040
 128092460    127579578     1.004020095     0.0040
 130267248    129741604     1.004051468     0.0041
 132439877    131898675     1.004103165     0.0041
 134609571    134050300     1.004172098     0.0042
 136775505    136201562     1.004213924     0.0042
 138939621    138349114     1.004268238     0.0043
 141100191    140494397     1.004311873     0.0043
 143257302    142637500     1.004345295     0.0043
 145412920    144777644     1.004387943     0.0044
 147565232    146916790     1.004413668     0.0044
 149714306    149049740     1.004458686     0.0045
 151861218    151178827     1.004513800     0.0045
 154006101    153306781     1.004561573     0.0046
 156148033    155433539     1.004596781     0.0046
 158288045    157556105     1.004645583     0.0046
 160425284    159677092     1.004685656     0.0047
 162559723    161795029     1.004726313     0.0047
 164692457    163911342     1.004765473     0.0048
 166822557    166025177     1.004802766     0.0048
 168950056    168139267     1.004822128     0.0048
 171076062    170246977     1.004869896     0.0049
 173198583    172354315     1.004898444     0.0049
 175319724    174459854     1.004928756     0.0049
 177439527    176561213     1.004974558     0.0050
 179555991    178660168     1.005014117     0.0050
 181671265    180759323     1.005045062     0.0050
 183783289    182855913     1.005071622     0.0051
 185894244    184947876     1.005116944     0.0051
 188003069    187039358     1.005152450     0.0052
 190109823    189129203     1.005184921     0.0052
 192214608    191217924     1.005212294     0.0052
 194317462    193303701     1.005244395     0.0052
 196418375    195389817     1.005264133     0.0053
 198517429    197472538     1.005291323     0.0053
 200614657    199553449     1.005317914     0.0053
 202710100    201633551     1.005339136     0.0053
 204802757    203710414     1.005362234     0.0054
 206894859    205785652     1.005390109     0.0054
 208985283    207859075     1.005418132     0.0054
 211074107    209929781     1.005450994     0.0055
 213160211    211998293     1.005480789     0.0055
 215244734    214065298     1.005509702     0.0055
 217328851    216131142     1.005541585     0.0055
 219410384    218195490     1.005567915     0.0056
 221490480    220258964     1.005591219     0.0056
 223568015    222316948     1.005627403     0.0056
 225645314    224376048     1.005656869     0.0057
 227720114    226431675     1.005690189     0.0057
 229793580    228489358     1.005708021     0.0057
 231865766    230541559     1.005743897     0.0057
 233935552    232592513     1.005774214     0.0058
 236005292    234643305     1.005804500     0.0058
 238072678    236691860     1.005833821     0.0058
 240138917    238737926     1.005868322     0.0059
 242202830    240785829     1.005884902     0.0059
 244265597    242829737     1.005913032     0.0059
 246327297    244874616     1.005932346     0.0059
 248387937    246916127     1.005960769     0.0060
 250446397    248957177     1.005981832     0.0060
 252503864    250995650     1.006008925     0.0060
 254560367    253034872     1.006028794     0.0060
 256614728    255073194     1.006043497     0.0060
 258668188    257109763     1.006061322     0.0061
 260719537    259143510     1.006081677     0.0061
 262769997    261175608     1.006104663     0.0061
 264819590    263205993     1.006130548     0.0061
 266867116    265237987     1.006142141     0.0061
 268913858    267266017     1.006165546     0.0062
 270959810    269295470     1.006180349     0.0062
 273003757    271318448     1.006211553     0.0062
 275046977    273342757     1.006234736     0.0062
 277088243    275364923     1.006258313     0.0063
 279128810    277385370     1.006285263     0.0063
 281167459    279406497     1.006302509     0.0063
 283205485    281425370     1.006325354     0.0063
 285242889    283441189     1.006356521     0.0064
 287278375    285459391     1.006372129     0.0064
 289313282    287475395     1.006393198     0.0064
 291346379    289488457     1.006417948     0.0064
 293377644    291502194     1.006433742     0.0064
 295408350    293515486     1.006448941     0.0064
 297438532    295525995     1.006471637     0.0065
 299466953    297536480     1.006488189     0.0065
 301494894    299544812     1.006510151     0.0065
 303521102    301550407     1.006535209     0.0065
 305546850    303556745     1.006555957     0.0066
 307570905    305560420     1.006579664     0.0066
 309594563    307563847     1.006602584     0.0066
 311616534    309566655     1.006621769     0.0066
 313636856    311568212     1.006639458     0.0066
 315656811    313568567     1.006659609     0.0067
 317676411    315569509     1.006676507     0.0067
 319694384    317566440     1.006700784     0.0067
 321710707    319565641     1.006712443     0.0067
 323726738    321562146     1.006731489     0.0067
 325741197    323558190     1.006746876     0.0067
 327755413    325551885     1.006768592     0.0068
 329768057    327544620     1.006788196     0.0068
 331779147    329538316     1.006799910     0.0068
 333790025    331528603     1.006821197     0.0068
 335800690    333519995     1.006838256     0.0068
 337808470    335510868     1.006848070     0.0068
 339817407    337499425     1.006868107     0.0069
 341823463    339484993     1.006888287     0.0069
 343829362    341471841     1.006903998     0.0069
 345835125    343457257     1.006923330     0.0069
 347838052    345440141     1.006941611     0.0069
 349842217    347423458     1.006961991     0.0070
 351843559    349405439     1.006977911     0.0070
 353844816    351386259     1.006996736     0.0070
 355846027    353367038     1.007015337     0.0070
 357844427    355344081     1.007036408     0.0070
 359842802    357322917     1.007052123     0.0071
 361841154    359299427     1.007074119     0.0071
 363838102    361275328     1.007093687     0.0071
 365833665    363251043     1.007109744     0.0071
 367827867    365228025     1.007118408     0.0071
 369822104    367201759     1.007135982     0.0071
 371816380    369175401     1.007153724     0.0072
 373807923    371146308     1.007171336     0.0072
 375799523    373116031     1.007192111     0.0072
 377789773    375087615     1.007204072     0.0072
 379780113    377058596     1.007217756     0.0072
 381769119    379026380     1.007236275     0.0072
 383756815    380995642     1.007247256     0.0072
 385744610    382962262     1.007265332     0.0073
 387731123    384929487     1.007278310     0.0073
 389716365    386896338     1.007288844     0.0073
 391701738    388861696     1.007303476     0.0073
 393685815    390826272     1.007316660     0.0073
 395668640    392788959     1.007331370     0.0073
 397651646    394751944     1.007345631     0.0073
 399633388    396711355     1.007365640     0.0074
 401613875    398673141     1.007376303     0.0074
 403594553    400632473     1.007393510     0.0074
 405572549    402589292     1.007410175     0.0074
 407552238    404547920     1.007426359     0.0074
 409529272    406505744     1.007437848     0.0074
 411506576    408461505     1.007454977     0.0075
 413482680    410416505     1.007470886     0.0075
 415457581    412371610     1.007483471     0.0075
 417432752    414325568     1.007499378     0.0075
 419406747    416280460     1.007510050     0.0075
 421379585    418231805     1.007526400     0.0075
 423351267    420183911     1.007538023     0.0075
 425323281    422133964     1.007555225     0.0076
 427294147    424084653     1.007568050     0.0076
-------------------------------------------------------

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/07/15 05:31pm 第 2 次编辑]


正如柳林自己所说，他的公式的相对误差是小于 1% 的。不过，公式好像有“系统误差”，当 x 比较大时，计算结果总比真实值大 7/1000 左右，似乎误差还有不断增加的可能。另外，当 x 较小时，计算结果又比真实值略小一些。

重生888

因8类素数一样多：30n+7  30n+11  30n+13  30n+17  30n+19  30n+23  30n+29  30n+31;孪生素数间隔2有三种：11--13  17--19  29--31；而间隔8的只有2种：11--19  23--31；所以孪生素数比间隔8的要多！如果间隔10（广义），即：13--23  19--29  7--17也是3种，应和孪生素数一样多！请天山草老师算算看，也许很有意思！
间隔6的就多了：7--13  11--17  13--19  17--23  23--29；间隔4的：7--11  13--17  19--23也是3种；（老师已算过一样多）所以说与素数尾数有关！另外，间隔12的：11--23  19--31  想必和间隔8的一样多！间隔16：:13--29  7--23； 间隔18:  11--29  13--31  间隔20： 11--31  只有一种！更少！

柳林

下面引用由重生888在 2013/07/15 05:52pm 发表的内容：
因8类素数一样多：30n+7  30n+11  30n+13  30n+17  30n+19  30n+23  30n+29  30n+31;孪生素数间隔2有三种：11--13  17--19  29--31；而间隔8的只有2种：11--19  23--31；所以孪生素数比间隔8的要多！如果间　...

间隔为10的还有一种：30n+1和30n+11;如31和41；61和71等等。

柳林

间隔为20的还有三种：30n+17和30n+37;如17和37；47和67等等。
                    30n+23和30n+43;如23和43；53和73等等。
                    30n+29和30n+49;如59和79；89和109等等。