设 a,b,m 都是实数，已知 a=√(m+4) ，b=√(5-m) ，求 a+b 的最大值

fang999

前几天在论坛上看到一坛友，发了求最值的问题
原式是y =2√x^2+1 +√(x-3)^2+9
  令a= 2√x^2+1  (a﹥0)   ,b=√(x-3)^2+9  (b﹥0)
  容易得出：a^2 =4(x^2+1)
       B^2 =x^2-6X+18
  则y=a+b ≤√2(a^2+b^2)
把上面的等式代入，整理得：y ≤√2（5x^2-6x+22）
                 Y≤ √10(x^2-1.2x+0.6^2)+44-10*0.6^2
在上面的容易得出X=0.6时，y 最小为√40.4
这样的逻辑对吗？？？请大家不吝指正！！！

luyuanhong

下面说明楼上的推理逻辑是有问题的：

楼上证明了 Y≤√[2(5X^2-6x+22)] ，因为 √[2(5X^2-6x+22)] 的最小值是 √40.4 ，就说 Y 的最小值是 √40.4 。

这种说法显然不对。其实，Y≤√[2(5X^2-6x+22)] 只是说 Y  比 √[2(5X^2-6x+22)] 小，并没有限制它更小。

所以 Y 的最小值完全可以比 √40.4 更小。

事实上，用求导数的方法，可以求得 2√(x^2+1)+√[(x-3)^2+9] 在 x = 0.35073227… 时取到最小值，

最小值是 6.12177303… ，这个最小值显然小于 √40.4 = 6.3560994… 。

fang999

luyuanhong 发表于 2019-7-18 23:53
下面说明楼上的推理逻辑是有问题的：

楼上证明了 Y≤√[2(5X^2-6x+22)] ，因为 √[2(5X^2-6x+22)] 的最 ...

谢谢陆老师的精彩分析！！！！
如果没记错的话，今年上交大自主招生里，有一填空题如下：
如果a=√m+4    ,b=√5-m  ,那么a+b的最大值是（3√2）

烦请陆老师再次分析一下，本题和论坛里的求最值题目，有何区别？或者说他们不属于一类，方法各异？？


再次对陆老师表示感谢！！！！

永远

求导，列表分析单调区间，在区间内极值是否是最值

fang999

永远 发表于 2019-7-19 10:48
求导，列表分析单调区间，在区间内极值是否是最值

xiexie!!!!!谢谢呀！！！！

luyuanhong

题  设 a,b,m 都是实数，已知 a=√(m+4) ，b=√(5-m) ，求 a+b 的最大值。

解  a+b ≤√[2(a^2+b^2)] = √[2(m+4+5-m)] = √(2×9) = 3√2 。

    而当 √(m+4) = a = b = √(5-m) ，即 m+4 = 5-m ，2m = 1 ，m = 1/2 时，

恰好有 a+b =√(m+4)+√(5-m) = √(1/2+4)+√(5-1/2) = 3/√2 + 3/√2 = 3√2 。

    所以，a+b 的最大值就是 3√2 。

注意  这题与第 1 楼中的题目看起来很相似，但有一个本质的不同：

这题要求的是最大值，而第 1 楼中的题目要求的是最小值。

所以这题的解法，对第 1 楼中的题目并不适用。

波斯猫猫

直接法：a+b=√(m+4) +√(5-m) =√〔(m+4) +√(5-m)〕＾2=√〔9+2√（-m＾2+m+20）〕≤3√2（显然，当且仅当m=1/2时等号成立）。

三角法：由a=√(m+4) ，b=√(5-m) 有 a＾2+b＾2=9，令a=3cosθ，b=3sinθ,则a+b=3（sinθ+cosθ）=3√2sin（θ+45°）≤3√2（显然，当且仅当θ=45°时等号成立）。

fang999

对上面几位老师的精彩分析，一并表示感谢！！！！


谢谢！！！！