罗素悖论

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罗素悖论
　　
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。　　
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。　　
这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。　　
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。　　
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。

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谈“罗素悖论”最好不要简单地谈“理发师悖论”，太容易误解了，虽然这个通俗的比喻是由罗素本人提出来的。

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罗素悖论的描述：
（1）定义集合 S＝｛A｜A是一个集合，且A不属于A｝，也就是说“不以自身为元素的集合的集合”；
（2）考虑“S是否属于S”；
（3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S，还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。
从这个描述中可以看出，这里没有任何形而上的或者文字游戏的东西，问题的全部描述都完全地来自集合论和严格的逻辑，所以这个悖论直接动摇了现代数学的基石：集合论，从而在数学界引起了一次前所未有的恐慌。

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理发师悖论只是一个实例，并未有何不妥哦

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理发师悖论不是罗素悖论的一个实例，而是一个形象的比喻。这个形象的比喻包含了一些文字游戏的内容，一个职业理发师具有双重身份，因为他同时还是村民；而他“理发”的行为也有“营业”和自己理发的两重性。因此，简单理解理发师悖论就使罗素悖论沦为了象历史上“说谎者悖论”一类的简单文字游戏，因而不足挂齿了。
但实际上罗素悖论问题的全部描述都完全地来自集合论本身，因此如果不能得到很好的解决，的确会危及数学的基础。
另外，个人认为罗素悖论成立有一个前提条件，就是所谓“所有集合的集合”这个超大集合存在。但我们从康托无最大基数定理可以得出矛盾，这个集合如果存在，它的基数将是多少？因此认定“‘所有集合的集合’不存在”这一结论是合理的。此外，数学上的确根本无须涉及“所有集合的集合”这样的超级集合。因此，罗素悖论可以通过与其本身无关的方法合理的加以规避。
反观理发师悖论中如果不承认前述二重性的话，却无法通过与其本身无关的结论合理的规避。无论是罗素的类型论，还是后来的所谓理发师定理（通过排中律直接认定这样的理发师不存在），都不能说已经十分完满地解决了理发师悖论。

wangyangkee

俞根强，闹蠢货，挫折面前瘪气了----------唉，网络数学家，过于脆弱了--------俞氏门庭的荣耀，，，还要不要？