康托尔对角线证明法的逻辑错误

门外汉

德国数学家康托尔用对角线方法证明了［0，1］区间全体实数的基数大于全体自然数的基数，这个证明在数学中产生了极其深刻的影响，现将这个证明简述如下:
［0，1］区间全体实数与全体自然数究竟哪个多呢?还是一样多呢?这个问题是无法直接证明的，康托尔采用了反证法:假设两者之间的基数是相等的，那么，［0，1］区间全体实数与全体自然数必然存在一个一一对应关系，证明中，第一步先将［0，1］区间全体实数全都写成无限小数的形式，例如0.5写作0.4999……，
第二步，假设列出［0，1］区间的全体实数，记为:
a1＝0.a(11)a(12)a(13)a(14)……
a2＝0.a(21)a(22)a(23)a(24)……
a3＝0.a(31)a(32)a(33)a(34)……
a4＝0.a(41)a(42)a(43)a(44)……
……
第三步，令a1对应1，a2对应2，a3对应3，a4对应4……于是［0，1］区间全体实数与全体自然数之间建立一一对应关系。
第四步:做出一个新小数B＝0.b1b2b3b4b5……令b1≠a(11)，b2≠a(22)，b3≠a(33)，b4≠a(44)……，可知，这个新小数B与上述所列出的［0，1］区间的所有小数全都不相等，说明B必然不在上述列表之中，但B确实是［0，1］区间的实数，这说明［0，1］区间的全体实数不能与全体自然数建立一一对应的关系，所以［0，1］区间全体实数的基数大于全体自然数的基数。
这个证明说明了两个问题1):［0，1］区间的全体实数是不能被一一列举的(如果能一一列举则能与全体自然数一一对应)，所以实数是不可列的或称为不可数(自然数称为可列或可数的)。
(2)，［0，1］区间全体实数的数量要远远大于全体自然数的数量，即:就算是将所有自然数全都“用尽”了，仍然有无穷多的实数没有与自然数相对应，即自然数比实数少很多，“不够用了”。
但是，这与自然数是无穷的理念是相悖的，既然自然数是无穷无尽的，那就永远都没有“用尽”的时候，所以接下来将会说明，非但是全体自然数不比［0，1］区间的实数少，相反的，全体自然数反而要比［0，1］区间的实数更多，从而揭示康托尔对角线证明法中的逻辑错误。
为了更加直观的说明问题，下面以图示的方法来具体说明:



在上图中，是假设中的［0，1］区间全体实数与全体自然数一一对应的列表，在这个列表中，我们截取出一个“对角线序列”，如下:
A1＝0.a(11)，
A2＝0.a(11)a(22)，
A3＝0.a(11)a(22)a(33)，
A4＝0.a(11)a(22)a(33)a(44)，
A5＝0.a(11)a(22)a(33)a(44)a(55)，
……
A＝0.a(11)a(22)a(33)a(44)a(55)……
在上述的“对角线序列”中，A1，A2，A3，A4……全都是有限小数，只有最后一个数A是无限小数，对无限小数A进行无限操作(即前面所述的令b1≠a(11)，b2≠a(22)，b3≠a(33)……)就会得到前述证明中的新实数B。
在这个对角线序列中，A1对应的是实数a1并且对应自然数1，A2对应的是实数a2并且对应自然数2，A3对应的是实数a3并且对应自然数3……
这个对应代表的是什么意思呢?如图所示，A1代表的是操作到a1这个实数，得到0.b1，A2代表的是操作a1至a2这两个实数，得到0.b1b2，我们称A2是对实数a2的一个延伸，代表操作到了a2这个实数。相应的，A3是对实数a3的一个延伸，代表的是操作到从a1到a3这个小数，得到0.b1b2b3，……最后，A代表的是对所有实数的一个延伸，代表操作完对角线上的所有数位，得到新小数B。
如上图所述，A1的横座标指向的是1，代表其对应的是自然数1，A2的横座标指向的是2，代表其对应的是自然数2，A3的横座标指向的是3，代表其对应的是自然数3……，也就是这个对角线序列中的所有元素都有自然数与其一一对应，特别的，A是对所有实数的一个延伸，那么A这个元素有没有自然数与其对应呢?
对于这个问题，只有两种选择:有或者是没有，下面逐一分析:
(1):假设A没有自然数与其相对应，那也就是说，自然数已经被“用尽”了，没有自然数再能与A相对应，否则，如果自然数没有被“用尽”，则必然至少还能再有一个自然数与A相对应。在这种情况下，便已经预设了［0，1］区间的实数比自然数多。
但在康托尔的假设中，所有实数与所有自然数是一一对应的，并没有自然数被“用尽”还有哪个实数没有被对应的这种假设，所以这种情况与康托尔的假设是不符的，可以排除。
(2):假设A也有自然数与其相对应，假设与A相对应的这个自然数为G，那么，根据自然数皮亚诺公理:如果G是自然数，那么G＋1，G＋2，G＋3……全都是自然数，这些无穷多的自然数全都没有实数与其相对应，这说明自然数非但不比［0，1］区间的实数少，反而要比［0，1］区间的全体实数要多很多。
综上所述，康托尔所运用的反证法，其假设就是错误的(预设了自然数能“用尽”这一假设)，所以其证明结果便是无效的。
所以康托尔的对角线证明方法是错误的，集合论出现最大漏洞。

jzkyllcjl

康托尔的“无穷集合是完成了的实无穷集合”。”数学必须肯定实无穷”的观点是错误的，他的无穷集合理论不成立。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-7-21 23:59
康托尔的“无穷集合是完成了的实无穷集合”。”数学必须肯定实无穷”的观点是错误的，他的无穷集合理论不成 ...

最主要的是，康托尔的实无穷理论矛盾百出

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-7-22 01:24
最主要的是，康托尔的实无穷理论矛盾百出

请你看看 elim今天的一个主贴 对你的评价。

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-7-22 02:54
请你看看 elim今天的一个主贴 对你的评价。

老e好像是看到了我的这个帖子了，但她一言不发的走了

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-7-23 01:49
老e好像是看到了我的这个帖子了，但她一言不发的走了

逻辑推导之前，需要有正确的无穷概念。你的许多帖子 都与无穷有关。你需要首先把无穷的概念搞清楚。 例如：讨论康托尔对角线之前，首先应当知道无尽小数的无尽是什么意思，讨论无穷旅馆之前，先要知道无穷的意义。 这是 从毕达哥拉斯，芝诺到现在 康托尔、鲁滨逊，王宪钧、汪芳庭都在争论的事情。

jzkyllcjl

你说对！自然数无法“用尽”，康托儿的“无穷（包括无穷集合）是完成了的实无穷”、“数学必须肯定实无穷” 的观点必须被铲除。点、直线、平面、平行线、无穷集合、实数、实数集合、数轴、函数、导数、定积分、无穷级数和等数学理论中的术语都需要提出理想、近似、全能近似序列三种技术性术语，使用理想与现实、无穷与有穷、精确与近似相互依存、相互斗争、分工合作的对立统一法则进行阐述；并提出实践是检验真理的最终标准。只有这样才可以彻底消除现行数学理论中的三次数学危机与其它悖论、大难题、（怪）定理；才可以使数学理论成为解决生产实际问题的活生生的工具。