[讨论] 初等数论趣题 x^2 + y^2 d

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2013/08/02 00:24am 第 1 次编辑]

天山草

  d = 1，p = 7 时，有整解么？

elimqiu

下面引用由天山草在 2013/08/01 07:19pm 发表的内容：
  d = 1，p = 7 时，有整解么？

我的题目翻译时有误，主贴已作了修订。抱歉

天山草

噢，这就没问题了。前提是已经有了一个整数解，然后根据 d 的不同，判断是否还有另一个解，或是不可能再有别的解了。
   上述理解对否？

elimqiu

是。您对第二小题怎么看？

天山草

下面引用由elimqiu在 2013/08/05 07:56pm 发表的内容：
是。您对第二小题怎么看？

    这类问题看似简单，其实可能很难，但这也正是它的有趣之处。我估计自己是无能为力的。

cwl

[这个贴子最后由cwl在 2013/08/06 09:24am 第 2 次编辑]


x^2-dy^2=pd不能为平方数，若x^2-dy^2=p有解,则x1+y1*d^(1/2)=[a+b*d^(1/2)]^l,x、y有无穷多组解

moranhuishou

没详细看，就知道
x^2 + y^2 d=Z^2
可有无数整解。
例如（略先）

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/08 06:56am 第 4 次编辑]


有个“费尔马定理”是这样说的：
每个 4k + 1 型质数都是两个完全平方数的和。
这就表明了：x^2 + y^2 = p 若有一组解 x=a 和 y=b，则有另一组解  x=b 和 y=a，此外不会再有别的解了。这时， p 一定是 4k + 1 型质数。
比如， 17 是 4k + 1 型质数， 17 = 4^2 + 1^2 = 1^2 + 4^2，此外没有其它整数解。
      29 是 4k + 1 型质数， 29 = 2^2 + 5^2 = 5^2 + 2^2，此外没有其它整数解。
因此，若 p 不是 4k + 1 型的质数，方程将无解。
如果 p 是变量，则方程当然会有无穷多非负的整数解：
（下面列出的 p 除了 p = 2 以外，全是 4k + 1 型的质数，否则方程无解）
x   y   p
--------------
1---1---2
1---2---5
1---4---17
1---6---37
1---10---101
1---14---197
2---1---5
2---3---13
2---5---29
2---7---53
2---13---173
2---15---229
3---2---13
3---8---73
3---10---109
4---1---17
4---5---41
4---9---97
4---11---137
4---15---241
5---2---29
5---4---41
5---6---61
5---8---89
6---1---37
6---5---61
6---11---157
7---2---53
7---8---113
7---10---149
7---12---193
8---3---73
8---5---89
8---7---113
8---13---233
9---4---97
9---10---181
9---14---277
10---1---101
10---3---109
10---7---149
10---9---181
10---13---269
11---4---137
11---6---157
11---14---317
12---7---193
12---13---313
13---2---173
13---8---233
13---10---269
13---12---313
14---1---197
14---9---277
14---11---317
14---15---421
15---2---229
15---4---241
15---14---421
……………………

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2013/08/08 06:42am 第 3 次编辑]


如果 p 也是变量，则对于方程 x^2 + d* y^2 = p (素数) 而言，当 d 大于等于 2 时，这个方程有无穷多组非负的整数解。
例如 d = 2 时，方程 x^2 + 2* y^2 = p (素数) 有无穷多组非负整数解：
x   y   p
-----------
1---1---3
1---3---19
1---6---73
1---9---163
3---1---11
3---2---17
3---4---41
3---5---59
3---7---107
3---8---137
3---11---251
3---13---347
3---14---401
5---3---43
5---6---97
5---12---313
7---3---67
7---9---211
7---12---337
7---15---499
9---1---83
9---2---89
9---4---113
9---5---131
9---7---179
9---10---281
9---13---419
11---3---139
11---6---193
11---9---283
11---12---409
11---15---571
13---6---241
13---9---331
13---12---457
13---15---619
15---1---227
15---2---233
15---4---257
15---8---353
15---11---467
15---13---563
15---14---617
………………
因此，当 p 是某个使方程有解的确定值时，例如 p = 17，方程仅有唯一解 x=3，y=2。
当 p 不合适时，例如 p = 23，则方程无解。