a1,a2,a3,a4>0，a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4=1，则a1,a2,a3,a4中任三数之和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

a1, a2, a3, a4 為四個正數，若 a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4=1;
試證 a1, a2, a3, a4 中任三數之和小於 (根號2)
(請問這個題目是否有問題?)

ccmmjj

这显然是一个错题。设a1,a2,a3足够大，a4趋近于0。
条件a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4=1趋近于a1a2+a1a3+a2a3=1。
而（a1+a2+a3)^2=a1^2+a2^2+a3^2+2(a1a2+a1a3+a2a3)趋近于a1^2+a2^2+a3^2+2>2。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 说得对，此题显然有错。
下面我也举个反例：
设 n 是一个正整数，令 a1 = n/3-1/n ，a2 = a3 = a4 = 1/n 。
这时有 a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4 = (n/3-1/n)3/n+3(1/n)(1/n) = 1-3/n^2+3/n^2 = 1 。
而 a1+a2+a3 = (n/3-1/n)+1/n+1/n = n/3+1/n →∞（当 n→∞ 时）。
所以 a1+a2+a3 的值不可能有上限。
而且还有 a2+a3+a4 = 1/n+1/n+1/n = 3/n →0（当 n→∞ 时）。
所以 a2+a3+a4 的值也不可能有正的下限。

moranhuishou

令    a1= a2= a3= a4 =(1/6)^(1/2)
则有   a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4 = 1
此时任三數=1.2247448713915890490986420373529
< (根號2)
=1.4142135623730950488016887242097

moranhuishou

规范些——

moranhuishou

改改老毛病了笔误——